à la Une

Un théorème, une mathématicienne et leur lecteur : l’énigme de Fermat passée au crible

Une version plus courte, concise et à jour est disponible sur Wikiversité.

Site à reprendre : doublons, corrections, mise en forme après les ajouts à faire, surtout les derniers arguments trouvés concernant la blague/fausse conjecture des « nombres de Fermat » (voir Wikiversité). 

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. » Jacques Roubaud, MATHÉMATIQUE : (1997)

« Quoi qu’il en soit, cette approche, où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs (1995)

Il arriva un jour où plus aucun mathématicien contemporain de Fermat n’accepta de répondre à ses défis. Sa riposte fut à la hauteur de sa pédagogie, il lança un défi au monde.

    Bonjour et bienvenue à tous les admirateurs, professionnels et amateurs, de Pierre Fermat. Depuis longtemps je pensais créer un site pour exposer le fruit de longues recherches sur l’énigme du “Grand Théorème”. Le temps m’avait manqué jusqu’à maintenant, je m’y suis enfin décidé. L’objectif est de faire état de tous les arguments trouvés à ce jour en faveur de l’existence d’une preuve du théorème par Fermat lui-même. Bien qu’ayant nourri depuis longtemps un goût prononcé pour la mathématique et la physique (ah ! la découverte, dans ma jeunesse, des intégrales, de la dynamique, des si belles, si simples formules, qui paraissent si logiques, si évidentes), je ne suis pas mathématicien, seulement un anonyme un peu polymathe, un peu philosophe  et surtout un grand curieux. Parce que je crois que si la motivation est là, on peut approcher une compréhension des mystères les plus importants de la vie, ma véritable passion est depuis longtemps la théologie. Je pense en effet que de nombreux “mystères”, quand on pratique une saine théologie, cessent d’être totalement insondables, hors de portée, dans leurs grandes lignes, de nos esprits très limités. Si leur étude, qui demande de nombreuses méditations, est complexe, ces mystères acquièrent petit à petit une apparence d’évidence, formant dans leur ensemble une architecture d’une logique admirable, qui contribue au plus haut point à nous mettre en accord avec le monde, avec nous-mêmes, nous rendant de plus en plus lucides et philosophes – un philosophe étant aussi pour moi quelqu’un qui abhorre la pensée unique, aime explorer de nouvelles voies, ou des voies déjà largement explorées par de grands esprits mais très peu connues du commun des mortels. Sur lui, le qu’en dira-t-on n’a que peu de prise, au contraire les mécanismes de la pensée unique lui deviennent de plus en plus familiers et contribuent à augmenter sa lucidité, affermir son individuation qui le préserve d’un panurgisme psychologique en constante expansion. Je veux ici faire une digression d’ordre intime, elle pourra aider à faire comprendre ma démarche. Cette prédilection pour les grandes énigmes, ce goût prononcé aussi pour répondre aux nombreux “pourquoi” que je me pose, je ne les ai pas toujours eus. Après que de gros bouleversements eussent surgi dans ma vie, je me vis contraint d’effectuer une analyse. Puis de retrouver – ou plutôt trouver – un chemin de foi (une seule de ces deux entreprises ne m’eût pas suffi). M’est venu aussi un besoin vital d’appréhender les grandes questions sur la vie, sur le monde en général, d’approcher au plus près les grandes énigmes. Car le désir de justice que je sentais partout autour de moi, même s’il est loin d’être toujours bien orienté, je l’avais aussi bien sûr, et comme la vie a forcément un sens, la justice voulait que je prenne une forte revanche sur les trente premières années de ma vie. De nombreux sujets occupent ma pensée, mais lorsque j’ai commencé vers 1995 à m’intéresser à Pierre Fermat et à son grand théorème, voyant combien de nombreux mathématiciens très académiques prétendaient avec, sans donner un seul argument pertinent, que Fermat n’a jamais possédé une preuve de son théorème, « puisque qu’il ne disposait pas des outils disponibles à notre époque » (sic), j’ai trouvé là non seulement une grande incohérence, mais surtout l’exemple le plus formidable de pensée unique, qui en outre concernait une question mathématique passionnante. Ce sujet d’étude m’a tout de suite intéressé. Je découvrais une énigme qui datait de plus de trois siècles. Cette façon inique et moutonnière d’évacuer le problème, au début m’a surpris, puis révolté. Plus mes recherches avançaient, moins j’étais surpris : ces savants ne pouvaient admettre que Fermat avait pu démontrer un théorème dont eux-mêmes avaient mis plus de trois siècles à trouver une preuve d’une complexité formidable. D‘autres avaient une raison supplémentaire d’être ainsi péremptoires, ils étaient envahis de courriers d’admirateurs de Fermat qui leur soumettaient une démonstration personnelle et bien sûr toujours fausse. En 1908, Paul Wolfskehl avait même créé un prix de 100 000 marks qui récompenserait la première démonstration du théorème. Des « démonstrations » plus ou moins farfelues commencèrent à s’accumuler sur le bureau du professeur Edmund Landau, chef du Département des mathématiques à l’université de Göttingen. Il avait été chargé d’examiner toutes ces propositions de preuve. Leur nombre augmenta tellement que son travail personnel en pâtit. Il trouva alors une solution radicale, il fit imprimer en grande quantité des modèles de réponses quasiment prêts à l’emploi :

Cher…

Je vous remercie pour votre manuscrit sur la démonstration du Dernier théorème de Fermat. La première erreur se trouve : Page… , ligne… Cela infirme la démonstration.

Professeur E.M. Landau

Puis il pria ses élèves de remplir les blancs. Les envois ne cessèrent pas pour autant, arrivant sur les bureaux de mathématiciens du monde entier. L’atmosphère autour de ce fameux théorème devenant de plus en plus troublée, il semble que l’inconscient collectif et l’effet de groupe à l’œuvre dans les hautes sphères de la discipline ont décidé qu’il faille arrêter là les dégâts et discréditer encore plus, par tous les moyens possibles, Fermat et son Grand Théorème. Rendons ici hommage aux nombreux savants qui ont fait preuve de retenue et de sagesse. Une autre raison importante a fait douter  les historiens et mathématiciens, est que s’ils connaissaient bien les travaux de Fermat, ils connaissaient beaucoup moins bien l’homme. On ne soulignera jamais assez l’importance, pour les mathématiques, de leur histoire, de la connaissance des méthodes propres à chaque savant, de l’époque à laquelle ils vivaient. Citons deux mathématiciens contemporains ayant écrit qu’on ne peut se prononcer, ni dans un sens ni dans l’autre : Catherine Goldstein, mathématicienne, chercheur et historienne des mathématiques, directrice de recherches à l’Institut de mathématiques de Jussieu-PRG (CNRS), la spécialiste incontournable de Pierre Fermat. Son étude approfondie des travaux du mathématicien, de ses méthodes, du contexte de l’époque, l’ont amenée à conclure qu’on ne peut savoir s’il avait ou non une preuve – elle aussi est pourtant bombardée de textes visant à prouver qu’il avait prouvé son théorème. De même, Jacques Roubaub ne suit pas les suiveurs des suiveurs. Pourtant, nombreux sont les savants qui doutent que Fermat ait eu une preuve beaucoup plus courte et plus accessible que celle trouvée par Andrew Wiles en 1994. Cette formidable découverte suscita beaucoup d’enthousiasme, parfois aussi un peu de tristesse : pour prouver un énoncé très élémentaire il avait fallu écrire tout un traité de mathématiques, d’une complexité extrême. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fit part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Au fil du temps la célèbre observation de Fermat au XVIIe siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés, seul leur importait le théorème qui y était parfaitement énoncé. Le texte original en latin a lui-même parfois été mal rapporté, ce qui pouvait donner des traductions assez savoureuses, telles que « Dormons » (Cubem). Voici une traduction fidèle de la note. D’abord l’énoncé en latin :

CVbum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexiHanc marginis exiguitas non caperet.

  • demonstrationem est l’accusatif féminin, il se traduit par démonstration, description, raisonnement rigoureux.
  • mirabilem se traduit par étonnante, admirable, merveilleuse, singulière. C’est aussi un accusatif.
  • detexi est le parfait de l’indicatif, du verbe detego : “mettre à découvert”, “mettre à nu”, “ôter ce qui couvre”, “mettre au jour, dévoiler.  Le contraire de detego, tego, se traduit par couvrir, recouvrir, cacher, dissimuler. Si Fermat avait voulu écrire en latin “j’ai découvert”, ou “j’ai trouvé”, il aurait employé le mot inveni (parfait de l’indicatif invenio : découvrir, trouver) comme il le fait ailleurs. Le latin, langue des savants et des lettrés, est une langue subtile, délicate à manier.
  • Sane se traduire par : assurément, vraiment, réellement, absolument. C’est la forme masculine du vocatif. Il ne s’applique pas à demonstrationem, qui est féminin, mais à l’auteur > « ce dont j’ai assurément mis à nu (ou dévoilé) ». Traduire correctement cet adverbe est important comme nous le verrons plus loin. Dans son ouvrage Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat et de l’Arithmétique de Diophante (Toulouse, 1853), Émile Brassinne livre la meilleure traduction que l’on puisse trouver. Elle n’est pourtant pas parfaite car il utilise le mot ‘’trouvé’’, ce qui contribue à éloigner le lecteur d’une étude approfondie de la note.
  •   La note complète de Pierre Fermat, en respectant le fond et la forme, en respectant aussi la forme conjuguée caperet, littéralement se traduira ainsi :

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré & en général jusqu’à l’infini, aucune puissance au-delà du carré ne peut être partagée en deux puissances de même nom, ce dont j’ai réellement mis au jour l’explication étonnante. La petitesse de la marge ne la contiendrait pas. »

C’est la traduction exacte, où il donne raison à ceux qui voient en lui un amateur, un vantard. Il la destine au lecteur non averti qui ne fait que passer. Une version plus élaborée à l’attention du chercheur, après décryptage par Roland Franquart, est disponible sur son site (cf. infra).

Notons que Fermat est un polymathe. Magistrat de profession, c’est aussi un mathématicien, latiniste distingué, poète réputé pour sa finesse et son élégance. Il est maître en matière de concision, surtout avec ce que permet la langue latine. Ludivine Goupillaud, qui a d’abord été chercheur et se consacre maintenant à l’enseignement, a étudié l’usage du latin chez Fermat : le latin, par rapport au français, « possède un indéniable avantage : celui d’agir comme un marqueur du sublime ».

Voici une des traductions erronées les plus répandues : «Il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré. J’en ai “découvert” une “démonstration véritablement merveilleuse” que cette marge est trop étroite pour contenir. » Une traduction conforme est plus importante qu’il n’y paraît, ayant analysé la psychologie de Fermat nous avons pu observer combien était grande son honnêteté, exemplaire sa moralité, non seulement dans sa charge de magistrat mais dans tous les domaines de sa vie. Le fait qu’il utilise l’adverbe “réellement” est important, pour un théorème réservé à la seule Arithmetica. Il a pris soin de ne jamais l’évoquer de son vivant sous sa forme générale (soyons certains qu’il ne l’a pas fait non plus dans les nombreuses correspondances qui ont été perdues), ce fut la plus admirable façon qu’il trouva de perpétuer son travail de pédagogue après sa mort, continuant d’encourager ses suiveurs à travailler et à trouver par eux-mêmes – il est notable de constater que ses non-suiveurs de notre époque ont réagi de la même façon que les non-suiveurs de son époque, d’autant qu’ils ne voyaient plus l’utilité de découvrir une preuve beaucoup plus simple, préférant le considérer soit comme un étourdi, soit comme comme un vantard.

Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations montre clairement qu’elles ont été écrites à l’intention d’un lecteur. On y voit le même soin, la même élégance, que celle dont il fait preuve dans ses correspondances. Pourquoi avoir demandé à son fils (à notre avis, et nous y reviendrons) d’écrire en toutes lettres « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », et non en abrégé comme sur les 47 autres observations ? En outre des commentateurs comme l’historien Jean Itard ont prétexté (entre autres), que la formulation du Grand Théorème, ou même toute allusion, n’apparaît nulle part ailleurs, pour prétendre que Fermat, s’étant trompé, se serait aperçu de son erreur, mais comme il l’aurait écrite pour son seul usage, il n’aurait pas eu à se rétracter. En 1950, à la fin d’une très brève analyse, il concluait par cette formule définitive : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » Qu’est-ce qui a pu motiver Itard à être aussi péremptoire ? Mais ne soyons pas trop surpris de cette affirmation, chez certains savants en effet les préjugés envers ceux qui leur ont ouvert la voie ont de tout temps existé, par besoin de s’affirmer, besoin de reconnaissance ou/et tout simplement désir bien humain de soutenir sa caste. Ce type d’attitude chez les suiveurs de suiveurs est propre à toutes les disciplines. De même en 1995, après la découverte de Wiles, le mathématicien Winfried Scharlau nous assure que Fermat n’aurait écrit ces notes que pour lui-même. Un argument baroque est aussi avancé pour nier une preuve du théorème : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes. » Il est instructif de se demander pourquoi non seulement des historiens, mais aussi d’éminents savants, veulent à tout prix que Fermat n’ait jamais eu de preuve. Des mathématiciens qu’il titillait par ses défis en furent irrités, tels John Wallis qui l’appelait “ce damné Français”,  ou Descartes, dont on sait combien il répugnait à reconnaître les mérites d’autrui, qui le traita de “vantard”. Alors, que peuvent ressentir ces savants qui pendant 324 ans ont planché et séché sur son Dernier Théorème ? Si une partie ne se sont jamais prononcés sur une preuve possible au XVIIsiècle, ou ont humblement reconnu ne pas avoir d’avis sur la question, d’autres, inévitablement, ont dû en concevoir quelque vexation, ne pouvant même pas imaginer que Fermat aurait pu avoir trouvé avec ses propres outils. Si l’on peut comprendre que certains, qui continuent de recevoir des démonstrations erronées d’amateurs, en soient agacés, est-il nécessaire pour calmer les ardeurs de ces optimistes de dénigrer Fermat ? De là à continuer de chercher de nouveaux pseudo-arguments il n’y a qu’un pas. Sur cette question spécifique, le manque de discernement des Itard, Edwards, Weil, Kummer, et autres Scharlau est trop sensible, fions-nous aux véritables historiens, lisons Libri par exemple, et lisons Goldstein surtout. Par dessus tout, lisons Fermat.

La plus célèbre Observation de Fermat concerne la question VIII de l’exemplaire de l’Arithmetica qu’il possédait. Son fils Clément Samuel fit imprimer une nouvelle édition de l’ouvrage en 1670, augmentée des 48 observations. Celle dont il est question, la 2ème, est la seule dont le titre soit écrit en toutes lettres, toutes les autres ayant un titres abrégé en « OBSERVATIO D.P.F. » En annonçant qu’il a une preuve, Fermat précise qu’il l’a « assurément (ou véritablement) mise au jour (ou révélée) » par une « explication surprenante (admirable, merveilleuse) ». Il existe au moins trois versions différentes de cette note en latin, selon l’édition que l’on consulte.

Note totale GROS t . 03
a) La note de Fermat (Bibliothèque de Lyon) : sur le mot detexi, une tache très étudiée qui dans le contexte suggère un t. Le point qui suit est exagéré (comparer avec le point final)

Note i en z totale XXL 01b) Edition de l’Université de Rome. Le i de « detexi » est remplacé par le graphème avec son point en chef. Le point qui suit est encore exagéré

note normale agrandie 02 recadrée

   Voici en résumé les principaux arguments, logiques, historiques, qui seront développés en faveur d’une preuve du théorème de Fermat par lui-même, contrairement à ce fait croire la rumeur. Je ne sache pas qu’il existe ailleurs une légende urbaine aussi universelle, et aussi vivace.

– 1) Une traduction littérale et fidèle de la deuxième OBSERVATIO de Fermat est : « […] ce dont j’ai réellement mis au jour l’explication surprenante », et non « j’en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse » : La traduction de detexi par ‘’j’ai trouvé’’ est erronée, si Fermat avait voulu dire ‘’j’ai trouvé’’ il aurait écrit ‘’inveni’’ comme il le fait ailleurs. Le latin, langue des lettrés et des savants, est une langue subtile et délicate à manier. Detexi est le parfait de detego (-texi, -tectum, -ere) qui signifie : ôter de qui couvre, découvrir (dans le sens de mettre à découvert), mettre au jour, révéler, mettre à nu. detexi” se traduira donc par ‘’j’ai mis au jour’’, ou ‘’j’ai dévoilé’’. Son contraire, “texi”, de traduit par ‘’j’ai caché (recouvert, dissimulé)’’. Dans les diverses «traductions» de l’Observation de Fermat, à part celle d’Émile Brassinne en 1853, l’adverbe “véritablement” (ou vraiment, tout à fait) n’est jamais à sa place, en effet sane est la forme masculine du vocatif, il ne s’applique pas à demonstrationem qui est féminin, mais à l’auteur, Fermat. Et donc : « j’ai réellement mis au jour » (ou assurément).

– 2) Le mot detexi (‘’j’ai mis au jour’’) a été transformé une première fois (édition de l’Université de Rome) en detexṡ (i et s confondus) → detexis, signifiant « tu tisses complètement ». Fermat a ici fait preuve de beaucoup d’ingéniosité. Avait-il remarqué que “detexis” est aussi l’anagramme d existe ? Il s’en serait amusé.

– 3) Et transformé une deuxième fois (édition de la Bibliothèque Lyon) en detexi. Je pense comme Roland Franquart qui avait décortiqué cette note en 2009 et fait cette découverte, que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l’observation de Fermat, non caperet (ne l’eût pas contenu) (ce t). En outre R.F. était déjà parvenu, dans son décryptage détaillé de la note « Lyon », à trouver « tisser complètement« . Ces codages et décodages peuvent paraître tirés par les cheveux mais si l’on veut bien se souvenir que Fermat aimait jouer, avec ses correspondants, avec nous, avec les mots – ne parlons même pas des nombres ! –, ça fait beaucoup de coïncidences. À l’instar d’autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il était un fervent lecteur), il était expérimenté en matière de cryptage et a dû s’appliquer à trouver la meilleure manière de laisser les meilleurs indices, à les disséminer de ci de là (cf. infra), et ici, en trafiquant deux lettres différentes, dans deux éditions différentes, et dans le même mot. Le coup de maître de Fermat sûrement, une magistral exemple de pédagogie. Avait-il envisagé qu’après sa mort, un mathématicien en possession d’une édition “detex. en soit désorienté et écrive à un de ses collègues en lui faisant part de cette curiosité ? Si ce collègue souhaitant vérifier de visu l’information, avait consulté une édition différente, et surtout l’édition “detexi.”, ces deux personnes se seraient interrogées et certainement mises à la tâche très confiantes et assidues. Une telle rencontre semble ne s’être jamais produite. Nous avons en tout cas le choix entre deux interprétations, ou plutôt, nous pouvons utiliser les deux :

« et tu en tisses complètement la démonstration étonnante, j’en ai assurément mis au jour, complètement tissé, l’admirable explication. La marge est trop petite (étroite) pour la contenir. (Comprendre : tout est dans la note elle-même quand on la décrypte et qu’on la travaille). »

L’examen de la seule édition “detex. peut lui aussi être fructueux, comme il l’avait été avec l’examen de la seule édition“detexi. (voir le site de R. Franquart). Fermat, malicieux dans ses défis, était aussi rompu à toutes sortes d’artifices. Examinons ce detexṡ.” → “detexis” → « tu  tisses complètement ». Fermat ne nous le demanderait pas sans nous fournir un indice, et un seul apparaît directement, en inversant les mots : « tisses complètement… tu ». Utiliser donc ce ‘’tu‘’ – les lettres ‘t’ et ‘u’ – qui apparaissent respectivement 19 et 21 fois dans la Note (merci, RF). À partir de l’édition “detexi. R Franquart avait décrypté l’édition de la Bibliothèque de Lyon à l’aide des groupes de lettres « tu » et « ut ». Tout ceci semble complexe, je pense que Fermat n’avait guère le choix, je me souviens aussi de ma stupéfaction en découvrant ce ‘’detex’’, qui m’avait laissé perplexe trois ans durant.

– 4) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations montre clairement, par le soin avec lequel elles ont été rédigées, par leur élégance, qu’elles ont été écrites à l’intention du lecteur. Pourtant l’historien Jean Itard, dont on sait combien il était prévenu contre Fermat, écrivait qu’elles étaient « réservées à son seul usage. » De même après la découverte de Wiles en 1995, Scharlau voulut nous le faire croire. Un argument baroque est aussi avancé pour nier une preuve du théorème : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes ». Le gobe-mouches jamais ne se demande ce qui a pu inciter maints savants, censés pourtant avoir l’esprit logique, à ériger tout un empilage d’arguments fallacieux afin de mieux discréditer un génie, alors que ces « savants ont au moins un préjugé de plus que les ignorants, celui de s’en croire exempts. C’est ce préjugé-là, par lequel ils combattent ceux des autres, qui rend incurable, chez eux, la maladie des préjugés.  » (Auguste Guyard, Quintessences, 1847). Les légendes urbaines ont la vie dure quand elles sont entretenues par des experts.

– 5) Les 48 observations «  sont issues selon [Clément-Samuel] des notes manuscrites faites par son père dans les marges de son exemplaire de l’Arithmetica » (Catherine Goldstein). Cet exemplaire d’une valeur historique considérable a disparu, et personne ne s’en est vraiment ému. Est-ce vraiment sur l’Arithmetica que furent écrites toutes ces observations ? Certaines, comme les n° VI et VII, sont très longues et ne pouvaient décemment tenir dans une marge. Si Fermat a donné, dans un livret ou sur papier libre, des instructions précises à son fils dans la manière d’écrire cette note si importante à ses yeux de trois façons différentes selon l’exemplaire que l’on consulte, ces consignes justifient la disparition de l’ouvrage : quand l’imprimeur choisi par Samuel a terminé de copier l’exemplaire de 1621 en insérant dans la nouvelle mouture les annotations fournies par Samuel, ce dernier l’a immédiatement détruit par prudence.

– 6) Seul le titre de cette mystérieuse note est écrit en toutes lettres : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT, tous les autres étant abrégés en OBSERVATIO D.P. F., ce qui suggère d’observer tout particulièrement cette OBSERVATIO. Pour quelle raison ? Parce que cette observation est trop importante ? Dans ce cas, pourquoi cette blague : « la marge est trop petite » ? Pourquoi n’avoir pas exposé une démonstration compréhensible, même très concise, voilà un bien étrange paradoxe. Nous connaissions un Fermat taquin, cette facétie-là nous semble la plus fameuse, chapeau l’artiste ! Ne serait-ce pas plutôt pour inciter le lecteur à observer de très près le texte latin (le titre lui-même, est écrit en lettres LATINES). Et quand ce lecteur a sous les yeux une des deux éditions ‘’trafiquées’’ il s’y intéresse d’autant plus.

Sur les nombres de la forme 22n + 1 (“Nombres de Fermat”) :

– 7) Ce génie facétieux a soumis cette conjecture (qu’il devait savoir fausse mais qu’il prétendait être vraie) à sept de ses correspondants… sur une période de… 19 ans. Et en leur demandant… de bien vouloir l’aider à la prouver Smiley souriant Or en utilisant les nombres premiers de la forme 74k+1, Fermat avait déjà trouvé que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. Peut-on réellement croire qu’avec même méthode, en utilisant les diviseurs de la forme 64k+1, il n’ait pas trouvé que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), et donc qu’il n’est pas premier ? Si on pouvait penser qu’en 1640 il croyait que cette conjecture était vraie, il est difficile de croire qu’en 1659 c’eût été encore le cas.

– 8) La cinquième et dernière formulation de cette conjecture est la seule à être ambigüe, il la commence ainsi : « J’ay ensuite considéré certaines questions », puis vers la fin : « Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers . Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre.[… ]. » On pouvait comprendre, et des mathématiciens comme Harold Edwards ont voulu lire : « j’ai ensuite prouvé que ». (Temple Bell, ne partageait pas cet avis mais Edwards ). Cette cinquième formulation, cette cinquième lettre qu’il adressa à un jeune mathématicien et physicien de 30 ans (Huygens), le seul qui aurait pu encore le suivre, ce fut son dernier ballon d’essai. Espérait-il par cette formulation équivoque que le jeune homme, comprenant « j’ai ensuite prouvé que », et découvrant que c’était faux, en soit excité et entre en contact avec lui ? Alors Fermat aurait enfin trouvé un mathématicien – jeune et prometteur – qui le suivrait sur ses terres. Mais Huygens suivait d’autre voies et ne donna pas suite. Ainsi cette formulation ambigüe deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les “nombres de Fermat”.

– 8 bis) Cette proposition dont Fermat a toujours dit qu’il n’en avait pas la preuve,  est absente de ses Observations, « où toutes ces propositions, à mesure qu’on s’en est occupé, ont été trouvées rigoureusement exactes. » (Libri). Fermat était un homme rigoureux et avisé, on imagine mal qu’avant son décès il n’ait pas vérifié scrupuleusement ses 48 observations – qui à l’évidence n’étaient pas « réservées à son seul usage » !

– 9) Il n’a donc pas hésité à se rabaisser et à paraître un amateur aux yeux des « suiveurs des suiveurs », tout en laissant des indices à l’intention de ses suiveurs.

– 10) Des historiens et mathématiciens ont prétendu, parfois avec des arguments fallacieux, que Fermat n’avait jamais possédé une preuve de son grand théorème : smoke and mirrors ! Cette rumeur, qui pouvait être réconfortante pour certains, s’est propagée et a grossi au cours des siècles, parfois par naïveté, parfois par conflit d’intérêt, parfois les deux à la fois, ajoutant toujours du mystère au mystère.

– 11) Fermat, obsédé par son désir de généralité, n’a jamais évoqué ailleurs que dans une des ses Observations le théorème général, or il l’a eu présent à l’esprit dès qu’il a pensé au cas particulier n=3.

– 12) Dans cette affaire du théorème digne d’un roman policier, Fermat le pédagogue fait preuve d’une virtuosité confondante, sa maîtrise de la situation est complète, il brouille les pistes d’un côté, laissant de l’autre côté des indices surprenants, parfois clairement affichés, parfois subtilement cachés.

Si l’on prend en compte ne serait-ce que quelques uns de ces arguments, on se doute qu’il a laissé à l’attention de ses suiveurs la piste d’un calcul – en l’occurence Roland Franquart, que j’ai rencontré une fois à Nice, a mis au jour le tissage de Fermat de l’«OBSERVATIO II», 3 couples de lettres “tu”, et 2 couples de lettres “ut”. RF prend comme support le triangle arithmétique (« de Pascal »).

On trouve donc (au moins) 3 éditions différentes de lʼArithmetica de 1670, où la célèbre note énonçant le grand théorème de Fermat se présente sous trois aspects différents, placés ici par ordre de singularité décroissante. C’est grâce à Roland Franquart qui en 2009 me fit part de sa découverte d’une singularité (le “t”) dans la note présente sur l’Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon, puis de ses précieuses recherches, que ma passion pour cette énigme (dont le traitement qu’on en faisait avait de quoi choquer) en fut encore accrue. Et ce n’est que 7 années plus tard, en 2016, que je découvris une deuxième bizarrerie (le )  dans une troisième édition.

Note. i en s Recadrée 01

Elle se trouve à Rome, consultée ici, au 1/3 de la page internet, page 141/488 dans la marge supérieure noire  (c’est la page 61 du Livre II). On observe que l’élément précédant le point final, étrangement n’est ni un i pur, ni un s, pur, mais ce caractère étrange, , a priori incongru dans ce texte en latin. La lettre  diacritée d’un point suscrit (ou “point en chef” ) est un graphème du latin étendu, autrefois utilisé dans l’alphabet irlandais. La diacritique est souvent utilisée pour distinguer un mot d’un autre mot, homonyme. Pourquoi Fermat qui s’y entendait en langues (français, latin, espagnol, anglais, grec), a-t-il ici construit ce mot detexṡ, au lieu de garder le mot detexi qui signifie “j’ai mis au jour”, et qu’il utilise dans les deux autres éditions ? Ce mot detexṡ étant inconnu de la langue latine, examinons l’intrus, le graphème . Il est formé d’un i deux fois bosselé (tordu), inclus dans le  : les deux caractères i et s sont confondus → le graphème se décompose en i + s, ce qui nous donne → is. Le mot inconnu detexṡ devient le mot detexis, du verbe detexo (tisser complètement), conjugué au présent de l’indicatif actif, à la 2ème personne du singulier → “tu tisses complètement”.

Avant la découverte de ce mot étrange et inconnu, je cherchais sans du tout y croire un nouvel indice concernant ce detexi dans les quelques éditions de l’Arithmetica disponibles sur le net, par acquis de conscience et à mes moments “perdus”.  Alors pourquoi donc le chercher ? J’avais un tout petit espoir et surtout  j’étais entêté.  Le trouver fut comme un coup de massue. Qui me garda assommé et dubitatif pendant deux ans. La première découverte de Roland Fanquart – une tache bien étudiée, qui dans le contexte figurait un t – était déjà une assez grosse bizarrerie (puisque sur l’édition de Zurich le t est parfaitement écrit). Cette nouvelle et encore plus grosse bizarrerie sur le même mot, ça semblait “trop gros”, c’était trop grossier pour que ce soit un nouvel indice, bien peu conforme aux manières d’un crypteur aussi subtil que Fermat. Il y avait donc maintenant deux étrangetés, dans un texte très court, sur un mot qui avait toujours été mal traduit par les mathématiciens (en “j’ai trouvé” ou “j’ai découvert”), sans parler d’une troisième édition correctement écrite. Sans doute influencé moi aussi par tout ce qui s’était dit de négatif au sujet de Fermat, je fus trop retourné pour y réfléchir sereinement. Ce n’est qu’après avoir longtemps laissé reposer, tâtonné plus de deux ans, un peu tous les sens, qu’aux environs du 5 février 2019 je trouvai enfin la signification de ce troublant indice, qui confirmait complètement le décryptage alphanumérique qu’avait effectué RF en 2009. C’était tellement simple, tellement évident, qu’il m’avait fallu beaucoup d’errements pour le comprendre.

*

L’édition de Lyon,  consultée ici, avait retenu l’attention de Roland Franquart (cette note figure aussi à la page 99 de l’ouvrage L’ÉNIGME DE FERMAT (voir Bibliographie), 

Le

Le t est surchargé. Il initie aussi texi, signifiant « j’ai caché ». Le point final est surchargé lui aussi, comme pour forcer encore l’attention sur detexi et texi (respectivement “j’ai mis au jour” et “j’ai caché”), mais surtout pour insister sur ce t (cf. infra). Il  ressemble plutôt à une jolie tache bien étudiée, sortie de son contexte, on ne voit qu’une tache. Ces deux surcharges, situées en bout de ligne sous les 5 caractères « eiuS – » avec un S très allongé, n’attirent pas trop l’attention. Tous ces signes étant répartis sur deux lignes successives, la discrétion en est encore renforcée.  Le point surchargé a deux utilités, il suggère d’accorder de l’importance au mot crucial detexi (j’ai révélé) (→ je révèle ici-même), et par sa grosseur il nous distrait un peu de notre attention sur le mot detexi. Ce pseudo « t » n’est donc qu’une tache bien faite, et il est difficile d’imaginer l’imprimeur, dans le cas où le caractère, ayant souffert d’un défaut d’impression, aurait été peu lisible, le surcharger aussi grossièrement.

*

Sans titre 8.jp2 mots sene detexi normal Recadré

Édition de Zurich,  consultée ici. Le mot detexi est correctement écrit, seul le point final est encore surchargé, comme pour moins singulariser la note présente dans l’édition précédente.

*

detexzzz avec gros t

Ceci est un montage ! Les contempteurs de Fermat auraient pu dire qu’il ne savait même pas écrire correctement… 😉

. . .

2). Il existe à la Bibliothèque de Zurich une autre édition, visible aussi par exemple dans l’ouvrage Le dernier théorème de Fermat (par Simon Singh), à la page 94 de l’édition de 1988, le texte y est parfait, seul le point après detexi restant surchargé, plus gros que le point final de la note, il faut ici encore être très attentif pour le remarquer.

 Souvenons-nous que Fermat, non seulement est un mathématicien très astucieux, un sage, mais que surtout, mâcher le travail de ses collègues en leur ôtant le goût de l’effort, n’est pas du tout, mais alors pas du tout, dans sa manière ! À la fin de cette Observation n°2, sous le texte [re] ‘‘i demonstrationem mirabilem sane detexi’’, fermat aurait eu la place (cette fois !) pour écrire l’anagramme prémonitoire ‘‘J’immortalisai (des) anxiétés de dénombrement’’ (le ‘i’ latin s’écrivait aussi ‘j’). Fermat aurait bien eu le temps pour cela mais on l’aurait encore pris pour un vantard 😉

3). J’ai eu connaissance de la bizarrerie de la première version en 2009 par M. Roland Franquart qui m’avait ainsi apporté en 2009 un premier argument en faveur de l’existence d’une preuve de Fermat, m’incitant à en chercher d’autres par moi-même. J’ai trouvé cette deuxième version, sans surcharge sur le t, que j’ai rendue facilement accessible sur une page personnelle de Wikipédia en avril 2014. Étant devenu au fil des années de plus en plus familier avec la subtilité et l’imagination débordante de ce grand pédagogue, j‘ai donc ensuite trouvé cette troisième version, observez le dernier caractère du dernier mot detexi lien, page 61) :

Note i en z totale XXL 01

Il y avait donc maintenant trois bizarreries. Les mots écrits, quand ils composent un texte chargé d’histoire, ont pour le lecteur une valeur sacrée, on a scrupule à y toucher, à tirer des conclusions qu’aucun historien, même faute d’avoir eu accès à de nouvelles informations, n’a jamais exposées. Quand par ailleurs la bizarrerie ne concerne qu’une lettre parmi deux cents, un mot parmi trente cinq (toujours le même mot), tous très importants et en rapport direct avec un génie, on se sent bien humble. Je tentai donc de trouver une explication technique, je n’en trouvai aucune. Aurais-je dû être étonné que personne n’ait encore relevé ces trois bizarreries ? Assurément non, car je connaissais assez bien les manières de Fermat et tout aussi bien la psychologie des mathématiciens et historiens : à la fois résignés et très sûrs d’eux, ils n’avaient jamais pensé à aller chercher à la source des indices que Fermat aurait nous pu laisser avec cette note (on pensait souvent qu’il avait dû se tromper). N’étant pas moi-même mathématicien, et avec ce que j’avais d’abord appris de l’anomalie sur le “t”, il ne m’était resté que la solution de découvrir si Fermat, facétieux et malicieux pour la bonne cause, n’avait pas laissé ailleurs une autre bizarrerie, qui à l’époque du tout-papier n’aurait guère éveillé l’attention du mathématicien. Les mathématiciens restaient persuadés que Fermat, à la fin se sa vie, nous avait légué le principal, et la pensée unique a fait le reste. Le même mot, donc, avait été l’objet de deux grosses bizarreries distinctes, et il existait au moins trois versions différentes de la note. Ça c’était vraiment bizarre, il y avait forcément une explication, surtout qu’il s’agissait de Fermat. Le temps a passé et fait son œuvre, faire dire à ce texte autre chose que ce qu’il ne dit pas explicitement paraît osé en première approche, mais si c’est pour tenter de le rendre plus signifiant en montrant que trois anomalies peuvent se justifier quand on les regroupe avec d’autres observations, alors il n’y a plus à tergiverser,  les deux anomalies viennent d’une décision réfléchie, et on se décide à en chercher l’explication la plus logique, quand bien même elle irait à l’encontre de la pensée unique. On observe alors que cette bizarrerie, ajoutée à bien d’autres encore, compose un ensemble de bizarreries très cohérent. Quand on fait confiance à Fermat, il ne se prive jamais de nous en récompenser. Dans cette version donc, toujours sur le même mot detexi, par un changement de lettre cette fois tout à fait incongru, Fermat (ou plutôt son fils, suivant les instructions de son père) remplace (demande à l’imprimeur de remplacer) le i par un  (qui bien à part son point en chef, est identique au s figurant deux lignes plus haut exactement à la verticale).

Il est certain que puisque ces deux bizarreries étaient importantes, elles ont été transcrites avec le plus grand soin par Samuel. J’ignore (j’en doute car elles suffisent amplement) s’il existe encore d’autres anomalies, d’autres versions du Diophante de 1670, sur le mot detexi ou ailleurs, seules quelques versions sont disponibles sur le web. 

Fermat a pu avoir connaissance du triangle arithmétique de Pascal avant même ce dernier, grâce aux travaux (qu’il connaissait) de François Viète, mort cinq ans avant sa naissance (ce triangle était déjà connu au XIsiècle du mathématicien persan Al-Karaji, et de bien d’autres à sa suite, jusqu’à Tartaglia, Viète…).  Si donc Fermat s’est intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons qu’il a travaillé sur les carrés magiques, et jouer avec cet objet philosophique que sont les nombres, étudier toutes les relations qu’ils peuvent avoir entre eux, était comme un trésor à tenter de mettre au jour, un trésor de méditations jamais épuisé), il paraît logique qu’il n’ait jamais souhaité y faire allusion (jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle) s’il s’en est servi pour démontrer son théorème. Gardons-nous toujours de sous-estimer Fermat, de minimiser son intuition et le discernement dont il a toujours fait preuve. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard (et il en a joué) avec ses façons peu orthodoxes, provocantes, qui stimulaient ses correspondants. Dans cette note en particulier il s’adressait à la fois aux jaloux (« il se regarde lui-même ») (Descartes), aux sceptiques, et à ceux qui lui feraient confiance. N’avoir évoqué ce théorème que dans cette note et nulle part ailleurs peut paraître étonnant, à moins d’admettre qu’il ne voulait rien dire, de son vivant, d’un théorème qu’il jugeait difficile à prouver. Il avait été déçu du manque d’empressement de ses correspondants à le suivre dans ses recherches. Ne pas dévoiler sa preuve, grâce au débat qui ne manquerait pas de s’ensuivre, contribuerait à mettre toujours plus en avant ses travaux, et à faire progresser cette science des nombres. Isavait que les mathématiciens qui viendraient tout de suite après lui ne le suivraient pas dans les voies très ardues qu’il était seul à maîtriser. De son vivant il testait chacun de ses correspondants avant de choisir le défi qu’il allait lui proposer, et de quelle manière il allait le faire, il avait vu leurs limites, leur impuissance à le suivre dans ses recherches. Dorénavant il écrira surtout beaucoup pour la postérité : il ne fera de son vivant aucune mention de la démonstration du plus difficile de ses théorèmes, le fera connaître seulement après sa mort. C’était le seul moyen de faire progresser la science des nombres. Son arithmétique n’intéressant plus personne, il pouvait penser que ce théorème avait de beaux jours devant lui. Outre une petite revanche sur ses détracteurs de l’époque, ça allait être un pied de nez à ses non-suiveurs. Fermat aura donc peut-être réussi le coup du millénaire, même si on a prétendu, avec la preuve très moderne découverte par Wiles en 1994, que ça y est, enfin, la vraie preuve on la tient ! Ah, que ce théorème aura fait parler de lui !

Intermède grothendieckien

« Plutôt que de me laisser distraire par les consensus qui faisaient loi autour de moi, sur ce qui est « sérieux » et ce qui ne l’est pas, j’ai fait confiance simplement, comme par le passé, à l’humble voix des choses, et à cela en moi qui sait écouter.

Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner.

Ce pouvoir-là n’est nullement le privilège de « dons » extraordinaires – d’une puissance cérébrale (disons) hors du commun pour assimiler et pour manier, avec dextérité et avec aisance, une masse impressionnante de faits, d’idées et de techniques connus. De tels dons sont certes précieux, dignes d’envie sûrement pour celui qui (comme moi) n’a pas été comblé ainsi à sa naissance, « au delà de toute mesure ».

Ce ne sont pas ces dons-là, pourtant, ni l’ambition même la plus ardente, servie par une volonté sans failles, qui font franchir ces « cercles invisibles et impérieux » qui enferment notre Univers. Seule l’innocence les franchit, sans le savoir ni s’en soucier, en les instants où nous nous retrouvons seul à l’écoute des choses, intensément absorbé dans un jeu d’enfant…

[…] La découverte est le privilège de l’enfant. C’est du petit enfant que je veux parler, l’enfant qui n’a pas peur encore de se tromper, d’avoir l’air idiot, de ne pas faire sérieux, de ne pas faire comme tout le monde. Il n’a pas peur non plus que les choses qu’il regarde aient le mauvais goût d’être différentes de ce qu’il attend d’elles, de ce qu’elles devraient être, ou plutôt : de ce qu’il est bien entendu qu’elles sont. Il ignore les consensus muets et sans failles qui font partie de l’air que nous respirons – celui de tous les gens censés et bien connus comme tels. Dieu sait s’il y en a eu, des gens censés et bien connus comme tels, depuis la nuit des âges !

Nos esprits sont saturés d’un « savoir » hétéroclite, enchevêtrement de peurs et de paresses, de fringales et d’interdits ; d’informations à tout venant et d’explications pousse-bouton – espace clos où viennent s’entasser informations, fringales et peurs sans que jamais ne s’y engouffre le vent du large. Exception faite d’un savoir-faire de routine, il semblerait que le rôle principal de ce « savoir » est d’évacuer une perception vivante, une prise de connaissance des choses de ce monde. Son effet est surtout celui d’une inertie immense, d’un poids souvent écrasant.

Le petit enfant découvre le monde comme il respire – le flux et le reflux de sa respiration lui font accueillir le monde en son être délicat, et le font se projeter dans le monde qui l’accueille. L’adulte aussi découvre, en ces rares instants où il a oublié ses peurs et son savoir, quand il regarde les choses ou lui-même avec des yeux grands ouverts, avides de connaître, des yeux neufs – des yeux d’enfant.

Il arrive que l’un ou l’autre de nous découvre telle chose, ou telle autre. Parfois il redécouvre alors dans sa propre vie, avec émerveillement, ce que c’est que découvrir. Chacun a en lui tout ce qu’il faut pour découvrir tout ce qui l’attire dans ce vaste monde, y compris cette capacité merveilleuse qui est en lui – la chose la plus simple, la plus évidente du monde ! (Une chose pourtant que beaucoup ont oubliée, comme nous avons oublié de chanter, ou de respirer comme un enfant respire…). Chacun peut redécouvrir ce que c’est que découverte et création, et personne ne peut l’inventer. Ils ont été là avant nous, et sont ce qu’ils sont. […] » Alexandre Grothendieck, RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien. (Les récoltes se font pourtant après les semailles. Le peintre Pierre Soulages écrit quant à lui : “C’EST CE QUE JE TROUVE QUI M’APPORTE CE QUE JE CHERCHE”).

A.G. dans son ouvrage La Clef des songes, p 24 : « L’apparition soudaine d’un tel sentiment [d’évidence] n’est d’ailleurs pas chose spéciale à la compréhension du grand rêve. Celui-ci représente simplement un des cas où elle est la plus flagrante. Je crois même qu’elle est plus ou moins commune à tout travail de découverte, aux moments où celui-ci soudain débouche sur une compréhension nouvelle, grande ou petite. J’en ai fait l’expérience encore et encore tout au long de ma vie de mathématicien. Et ce sont les choses les plus cruciales, les plus fondamentales, au moment où elles sont enfin saisies, qui sont celles qui frappent le plus par leur caractère d’évidence ; celles dont on se dit après coup qu’elles “crevaient les yeux” – au point qu’on se trouve stupéfait que soi-même ni personne n’y ait songé avant et depuis longtemps. Ce même étonnement, je l’ai rencontré à nouveau, et tout autant, dans le travail de méditation – ce travail à la découverte de soi-même qui est venu, peu à peu, à se confondre quasiment avec le travail sur mes rêves.

Les gens ont tendance à ne pas y faire attention, à ce sentiment d’évidence qui accompagne si souvent l’acte de création et l’apparition de ce qui est nouveau. Souvent même on refoule la connaissance de ce qui peut sembler, en termes des idées reçues, un étrange paradoxe. »

Les 48 observations ont-elles été écrites “dans la marge” ?

J’ai pris cette question beaucoup plus au sérieux que je ne l’avais fait jusqu’alors, lorsque j’ai lu dans l’ouvrage Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal » que Laurent Hua et Jean Rousseau, observant la longueur de la moitié des 48 observations de Fermat,  y répondent par la négative. Catherine Goldstein note que Cantor déjà se posait la question – bien d’autres ont dû se le demander. Voyons donc si c’est vraiment dans la marge que Fermat aurait pu écrire toutes ces observations (serait-ce ailleurs, sur des feuilles volantes ou dans un livret, avec des instructions détaillées à l’adresse de son fils, pour les trois ‘’detexi’’ différents par exemple, instructions qui pouvaient être accompagnées d’autres recommandations). Samuel écrit dans la préface de l’édition de 1670 : Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros. En français : « Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. » Au premier abord la précision : “surtout dans les quatre derniers livres” paraît justifiée puisque ce sont  dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Pourtant certaines d’entre elles sont très longues (par exemple les obs. N° 6, 7, 8, 9, 11, 15…) et n’auraient pu tenir dans une marge. Dans les Livres I et II au contraire, trois premières observations sont très courtes, et auraient pu facilement y tenir. Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel en écrivant : « […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. » Quant à la remarque du fils de Fermat : comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés’’, c’est presque exactement ce que son père disait.

Tout laisse supposer que Samuel n’a pas pris seul, sans les recommandations paternelles, l’initiative de faire publier une nouvelle édition de l’Arithmetica, augmentée des observations de son père. Fermat n’a dû écrire dans la marge que les Observations les moins longues, celles qui pouvaient y tenir, certainement aussi quelques indications pour les plus longues. C’est certainement ailleurs, dans un livret ou sur quelques feuilles volantes mises sous enveloppe, qu’il a dû écrire en détail les plus longues, ainsi que des indications très précises pour son fils aîné Clément-Samuel, expliquant exactement de quelle façon l’OBSERVATIO II devrait lui-même retranscrire dans une nouvelle Arithmetica, de trois façons différentes, dans trois versions différentes, avec un modèle pour le ‘t‘, très grossièrement surchargé mais qui néanmoins s’apparentait à un ‘t’. De même pour la mention du graphème ṡ, de même pour le point surchargé dans les trois cas, et de même pour le titre de la note qui devrait être imprimé en toutes lettres, et non abrégé.

Fermat n’a jamais cessé de jouer, pédagogue facétieux qu’il était. Ce jeu pourrait nous sembler cruel, sauf si l’on admet une fois pour toutes que, lorsqu’il a voulu encourager ses suiveurs, on n’a jamais pu le prendre en flagrant délit de mesquinerie, prêt qu’il est à user sans modération des astuces les plus subtiles. Si nous passions outre ces prouesses, si nous sous-estimions sa sagacité, il semblerait étonnant que son Diophante n’ait jamais été retrouvé. Si nous les acceptons, nous comprenons aisément que Samuel, par prudence, a été dans l’obligation de le détruire. Pierre et Samuel, voila un bien noble binôme, qui a bien mérité sa particule, Pierre, homme de cœur, indépendant, intègre, audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt très occupé. Samuel, humaniste, altruiste lui aussi, et passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en somme, digne héritier de son père. Examinons un autre point, nous avons vu que la traduction exacte de l’affirmation de Fermat qui a fait très polémique (mais dans d’autres traductions, toutes erronées) est : « J’en ai réellement mis au jour l’explication surprenante. La petitesse de la marge ne la contiendrait pas. » […]. » Si ses 48 annotations avait été « réservées à son seul usage » (comme l’ont prétendu Jean Itard et bien d’autres), Fermat aurait-il eu besoin d’ajouter le mot “réellement” ? Chère lectrice, cher lecteur, commencez-vous à vous poser des questions ? Si c’était le cas il se pourrait que vous ne soyez pas déçu de votre petit voyage en terra incognita.

Fermat pensait-il vraiment que sa conjecture sur les nombres de la forme 22n + 1 était vraie ?

Je suis conscient que ce qui suit va à rebrousse-poil des sentiers battus, et je vous avoue tout net que moi-même, pendant longtemps (5 ans presque exactement), je n’ai pas été complètement certain de cette théorie. D’une heure à l’autre elle pouvait parfois se conforter considérablement, comme elle pouvait tout aussi bien se réduire presque à néant – je ne doute pas que cela puisse aussi vous arriver 😉 De cela je n’étais pas trop  car j’étais moi aussi très influencé par tout ce qui s’est dit de négatif au sujet de Fermat – dit, et surtout répété depuis des siècles, avec des raccourcis de raisonnement parfois saisissants, des analyses orientées qui s’ajoutaient les unes les autres en devenant de plus en plus partiales. Face à autant d’avis négatifs venus de nombreux savants au long des siècles, il est souvent arrivé, au sujet des polémiques autour de Fermat, que des doutes m’assaillent à nouveau. Je ne les balayais pas d’un revers de main mais les soumettais à une l’analyse critique. Cette démarche m’a souvent permis de conforter certains arguments et surtout d’en découvrir de nouveaux. Il ne faudrait pas trop s’étonner, ni même s’accabler d’être parfois si peu sûr de soi. Il serait au contraire fâcheux d’être irraisonnablement obstiné jusqu’à utiliser de mauvais arguments. On sait que la puissance d’un préjugé, quand il est très partagé, par des savants de surcroît, est quasiment indépassable. Dans tous les domaines, et chez nous tous, la problématique de la croyance est éminemment complexe. On aime croire ce qui nous est agréable, il nous arrive de modifier, parfois même de changer radicalement certaines de nos croyances, mais beaucoup d’entre elles ne nous quitteront pas de toute notre vie. Certaines heureusement seront bonnes, mais qui peut dire en ce bas monde qu’il détient la vérité ? Citons Claudine Tiercelin : « […] pour mesurer à quel point il est difficile de se débarrasser de nos croyances, et pourquoi on a tant de mal, même si on réalise que nos croyances sont fausses, même si on se rend compte que nos croyances sont éventuellement des préjugés, à cesser de croire ce qu’on croit. Parce qu’on a besoin de croyances pour agir. » Examinons sereinement les choses. Certains commentateurs parmi les plus sceptiques, philosophes, historiens et même mathématiciens, qui pour des raisons diverses, veulent croire et nous faire croire que Fermat ne pouvait avoir une preuve de son théorème, ont prétendu que lorsqu’il écrit à propos de cette question des nombres de Fermat : « J’ay ensuite considéré certaines questions », il prétend avoir démontré la dernière question. On devrait donc lire : « J’ai démontré (toutes) ces propositions. » En 1977, l’Américain Harold Edwards par exemple écrit : « Il [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers » – ce qui est loin d’être évident pour Eric Temple Bell qui lui en fait la remarque, mais Edwards poursuit : « Je ne vois pas d’autre interprétation de cette lettre à Carcavi. » Tout va bien, les savants les plus sceptiques sont de plus en plus rassurés, Fermat n’est pas fiable, et il n’a jamais démontré son grand théorème comme il le prétend, d’ailleurs ça se saurait, il y aurait au moins une trace quelque part et on a cherché partout.  Voyons ce qu’il écrit à propos de ces nombres de la forme 22n + 1 en prêtant attention aux lignes que nous mettons ici en italiques, qui peuvent être interprétées comme des mises en appétit, des provocations, à la fois défis et encouragements à le suivre dans ses travaux :

1) août (?) 1640 à Frenicle « Mais voici ce que j’admire le plus : c’est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l’unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire. » Lettre XLIII.

2) 18 octobre 1640, à Monsieur  de **** (On pense qu’il s’agit toujours de Frenicle de Bessy)

« Si vous en avez la preuve assurée, vous m’obligerez de me ma communiquer ; car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. » (Il fait tout pour que Frenicle étudie la proposition et découvre peut-être qu’elle est fausse).

3) 25 décembre 1640 à Mersenne : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. » (même chose)

4) 29 août 1654 à Pascal : « Au reste, il n’est rien à l’avenir que je ne vous communique avec toute franchise (NDR : ça semble encore un appât). Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition.
Les puissances carrées de 2, augmentées de l’unité, sont toujours des nombres premiers.
Le carré de 2, augmenté de l’unité, fait 5, qui est nombre premier.
Le carré du carré fait 16 qui, augmenté de l’unité, fait 17, nombre premier.
Le carré de 16 fait 256 qui, augmenté de l’unité, fait 257, nombre premier.
Le carré de 256 fait 65.536 qui, augmenté de l’unité, fait 65.537, nombre premier. Et ainsi à l’infini.
C’est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée, et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout.
Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. Je suis, [etc.]»

5) 19 juin 1658, à John Wallis par Digby : « quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration (…) Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie », lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.

  • Examinons maintenant sa dernière lettre (qu’on a appelée lettre bilan, ou lettre testament) traitant du sujet (1659) à Carcavi et à Huygens, et où seul le cas n=3 du grand théorème est  rappelé.

6) « J’ay ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :
– Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube. Ledit quarré est 25.
– Il n’y a que deux quarrez en entiers lesquels augmentés de 4 fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers. [Vide Commerc. Epistolicu Wallisii pag. 186 (…)]. Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre […]. »

Y a-t-il un double sens ici ? Le philologue Fermat sait qu’une question est toujours une interrogation, elle ne peut être négative. On peut encore voir là un indice et interpréter ainsi : cette dernière proposition est « négative », mais aussi dans le sens « non valable ». Reprenons ce qu’il écrit en modifiant quelque peu : « Cette facétie est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien que la réponse soit conçue affirmativement, elle est négative. » Notons qu’il majore l’intelligence, l’inventivité de sa recherche en ajoutant après  »subtile » son synonyme « ingénieuse ». La suite de son texte : « Et peut être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’ajouterai, multi pertransibunt et augebitur sciencia ». (pour transmettre le flambeau aux fils, aux disciples, […] ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue). Cette proposition on le sait, ne se vérifie pas dès 4 294 967 297 (F5). Peut-on réellement croire que Fermat, qui en essayant les nombres premiers de la forme 74k+1 trouve que 237-1 est divisible par 223, n’aurait pas vu par la même méthode que Fest divisible par (64×10) +1, soit 641, donc qu’il n’est pas premier ? Certains, en prenant soin de ne faire aucune allusion directe à ces 4 divisions, ont pu dire qu’il se serait trompé dans ses calculs : il aurait donc ignoré qu’on vérifiait le résultat d’une division en multipliant le quotient par le diviseur ? Que Fermat, maître dans la science des nombres, ait pu mentionner à qui voulait l’entendre : à Frénicle (2 fois en 2 mois), Mersenne, Pascal, Wallis, Digby, Carcavi et Huygens), sur une période de 19 ans (!), entre 1640 et 1659, qu’il est quasiment certain d’une proposition dont pourtant il peut démontrer la fausseté en quelques minutes, est une nouvelle fois bien étrange. Le plus intéressant avec cette dernière proposition, dont Fermat a toujours dit qu’il n’en avait pas la démonstration, est qu’elle ne figure pas parmi les 48 observations de l’Arithmetica. Or, tous les autres théorèmes que Fermat a prétendu avoir démontrés se sont révélés exacts.

Fermat sait pertinemment que cette conjecture, très importante à ses yeux, est fausse, il est donc fort probable que dès la première de ces lettres, et jusqu’à la cinquième, il utilise à nouveau sa méthode du défi (bien qu’ici sous une forme tout-à-fait inédite). Et si l’un de ses correspondants avait pu alors montrer (une première pour eux) qu’elle était fausse, cela aurait créé une forte émulation chez quelques autres, qui à leur tour auraient tenté, avec plus de persévérance qu’ils ne l’ont fait jusqu’alors, de tenter de relever d’autres de ses plus grands défis, ce qui a toujours été son objectif. Il est tentant de penser qu’il a adjoint cette dernière question aux trois précédentes de façon à regrouper quatre questions négatives, ce qui lui permet une nouvelle fois de jouer sur les mots. Les mots alléchants « d’une très subtile et très ingénieuse recherche », sont destinés à aiguillonner un peu plus les savants, comme on le voit aussi à la fin de cette longue lettre, « en tout cas, cette indication [du compte de mes rêveries] servira aux savants pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point. » (NdR : « ce que je ne développe point »). À première vue on ne peut savoir avec certitude si, en plus d’avoir « considéré ces questions » il pense avoir la démonstration pour chacune, jusqu’à la dernière. Notre opinion étant qu’il savait cette dernière proposition invalide, il a pu avoir deux objectifs :

  • D’abord laisser penser aux plus sceptiques qui ne voudraient pas (ou ne pourraient pas) le suivre qu’il s’était trompé (et tant pis pour eux), et augmenter encore davantage leur trouble quant à son affirmation sur son Grand Théorème prétendument démontré. C’était un Gascon, donc un matamore ? Soit ! Ils ne chercheront pas, avec beaucoup de discernement, sa preuve, ils ne la trouveront donc pas de si tôt et languiront.
  • Faire s’interroger les plus curieux de ses lecteurs : pourquoi affirmer une chose quand on peut prouver qu’elle est fausse ?  Pour les sidérer ? Les stimuler afin qu’ils cherchent ce qu’il peut y avoir de plus sublime, dans ce qu’il a bien voulu nous laisser de ses travaux ? Alors, qu’ils s’interrogent : Fermat utiliserait-t-il autre part que pour ces nombres de la forme 22n + 1, de subtils moyens pour nous mettre sur la voie de ses découvertes ? Dans la note N°2 peut-être ? Si l’on s’est déjà s’interrogé sur la présence des deux bizarreries, on sera encore plus enclin à les étudier avec soin.

Énoncer en toute connaissance de cause cette fausse proposition, est donc pour Fermat avantageuse à tous points de vue. Nous sommes maintenant au fait des manières de Fermat pour encourager d’éventuels suiveurs, il livre des indices de-ci de-là, laisse le temps faire son œuvre et travailler pour lui (il n’a plus le choix, il est lâché de tous côtés). Le destin décidera lui-même de l’avenir du théorème.

Vers 1800 on pouvait prouver le théorème pour les valeurs de n égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat qui reste à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, de développer la théorie des nombres complexes idéaux (théorie qui allait devenir un outil très important de l’algèbre). Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100, tout en continuant d’affirmer que ce problème n’était qu’une curiosité. C’est une nouvelle grande avancée qui, même partielle et très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Mais le pli est pris puisqu’on abandonne définitivement la pure recherche élémentaire pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour la nouvelle mathématique. Désormais on va plutôt se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, dont on voit qu’ils vont nous aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes, comme celle de Fermat, même, et bien d’autres. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique élémentaire, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout on doute encore plus que Fermat aurait pu démontrer son théorème.

Depuis 1670, au fil des années, puis des siècles, tout un empilage de mauvais arguments s’est progressivement érigé, arguments qui s’additionnaient les uns aux autres pour se fortifier mutuellement,  et tenter ainsi de prouver que Fermat n’a jamais eu la preuve de ce qu’il avançait. Ses autres théorèmes ont résisté beaucoup moins longtemps et donc reçu meilleur accueil. Une telle somme de tentatives faites pour discréditer un théorème qui semblait trop inaccessible – voire même impossible à démontrer – procède-t-elle d’une quelconque logique ? Puisqu’on ne parvient pas à trouver la preuve arithmétique de Fermat, il faut imaginer des non-preuves à sa preuve ! « Ainsi, des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. » (Libri, XIXe siècle). Nous non plus ne suivons pas les péremptoires contempteurs qui « pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements », les laissant à leurs certitudes et à leur logique biaisée. Revenons à notre étude : avec la dernière proposition plusieurs fois suggérée, Fermat adopte la posture de celui qui réclame de l’aide à tous. C’est en opposition avec l’habitude de l’époque, et encore bien plus chez lui ! Il soumet même cette proposition à Pascal (1654), qui a pourtant abandonné l’arithmétique depuis longtemps pour se consacrer à la théologie. Fermat, ayant jaugé les plus grands mathématiciens de l’époque, peut douter qu’ils puissent facilement parvenir à leur fins. Mais l’essentiel pour Fermat n’est pas là, l’étude de la science des nombres n’a pas de limites, il veut « faire passer dans l’esprit de ceux qui viendraient après [lui] la Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres pour traditio lampadis ad filios » (pour transmettre le flambeau aux enfants, aux successeurs) (lettre à Carcavi et à Huygens de 1659). Ne nous fait-il pas là aussi, mais dans une lettre cette fois – une lettre testament –, un nouveau clin d’œil ?

Le latin, « marqueur du sublime par excellence » dans les mathématiques

Avec l’autorisation des Éditions DROZ, et de deux des auteurs, Ludivine Goupillaud et Emmanuel Bury, que je remercie chaleureusement ici, voici quelques citations, extraites  de l’ouvrage  Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIsiècles), Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E.N.S. Ulm [compte-rendu] (2006).

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. Cela dit, le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon L. Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. […] Oublier le latin aujourd’hui, c’est donc prendre le risque de fausser les perspectives et d’être frappé d’une amnésie partielle de ce qui a constitué et qui constitue encore le patrimoine de notre culture européenne. » Emmanuel Bury

Pour Ludivine Goupillaud, Fermat s’attribuait un rôle d’« éclaireur », « ouvrant la piste à ceux qui auront le courage de le suivre. » Elle emploie à son sujet les expressions : « course folle », « boulimie d’expérience nouvelles », « état proche de la transe et de l’enthousiasme (au sens étymologique du terme : du grec ‘enthousia’, inspiration divine, et ‘théos’, dieu)  », « admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques ». Elle cite aussi l’auteur (inconnu) du Traité du Sublime  : « La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Elle cite aussi Fermat : « Je ne puis donner ici la démonstration, qui découle des mystères multiples, variés et impénétrables, de la science des nombres ; j’ai décidé de consacrer un livre entier à ce sujet et de repousser d’une façon étonnante les bornes de cette branche de l’arithmétique, au-delà des limites anciennement connues. » (Observation XVIII sur son Diophante). Les interprétations que l’on peut faire de ce que nous a livré Fermat en arithmétique, jusque dans ses correspondances, dépendent  du regard, confiant ou sceptique, que l’on y porte. Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, C. Goldstein, donne un joli exemple (p.87) « qui illustre élégamment l’efficacité et la sobriété légendaire de Fermat ». Fermat avait heureusement à sa disposition le latin, langue des savants et des lettrés dans laquelle il excellait, et qui convenait parfaitement à son désir de condenser ses énoncés utilisant parfois l’ellipse pour ne pas s’embarrasser de périphrases alourdissant des formulations alors rendues absconses. Et puisqu’il manquait cruellement de temps cette méthode lui convenait d’autant plus. Il écrivait à Mersenne : « J’ay si peu de commodité d’écrire mes démonstrations… que je me contente d’avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver lorsque j’auray le loisir de le faire. » Comprenons que c’est aussi le peu de loisir dont il disposait qui l’empêchait de développer complètement, dans tous leurs détails, des démonstrations souvent très complexes : un esprit si rigoureux et minutieux n’aurait pu se satisfaire de démonstrations plus développées mais pas totalement, qui n’auraient donc pas été parfaites. Libri écrivait à propos de Fermat : « Satisfait de vaincre les plus grandes difficultés, il communiquait ses découvertes à ses amis, à des géomètres tels que Pascal, Descartes, Roberval, Frenicle, Wallis, Torricelli, Huygens, et souvent il ne gardait pas même copie des démonstrations qu’il leur adressait. C’était surtout par l’entremise du père Mersenne, dont la correspondance était si étendue, que se faisaient ces communications. » Fermat  préférait utiliser son temps libre (c’était un magistrat consciencieux) à faire progresser ses travaux personnels par des échanges avec ses correspondants, échanges qui avaient l’avantage de stimuler les deux parties. Les historiens qui se sont penché sur ses travaux et l’ont souvent dénigré n’ont pas suffisamment pris en compte cet aspect psychologique, pédagogique, négligeant trop ce qu’autorisait la stratégie du défi : ne livrer des indices qu’au compte gouttes, et parfois uniquement quand les discussions stagnaient trop longtemps. Reconnaissons en outre que si Fermat avait tout révélé de ses découvertes, nos mathématiques actuelles n’en seraient pas à ce niveau (tous les travaux que son théorème, surtout, a déclenchés). C’était non seulement un professionnel dans son domaine, mais aussi un pionnier, un visionnaire. La touche finale, la french touch – ou plutôt la touche latine –, a été cette observation énigmatique que nous a livrée son fils Samuel : à sa mort, il ne mettait pas un terme à son travail de pédagogue (le génie de Fermat il est là aussi), il mettait un point d’orgue à la démarche qui lui avait si bien réussi de son vivant, en livrant son ultime défi. À notre époque il aurait été un professeur de mathématiques remarquable, suscitant chez ses élèves, par les questions les mieux choisies, le goût de faire eux-mêmes des découvertes. Qu’aurait apporté aussi  à cet homme remarquable d’exposer noir sur blanc, de son vivant,  quelques pages qui auraient risqué de le sortir l’ombre malgré les jeunes savants progressistes qui arrivaient et qui n’avaient que faire de ses travaux datés ? Sortir de l’ombre, le souhaitait-il, lui si attaché à la tranquillité dans son travail assidu de juriste dans lequel il prenait parfois des risques en combattant l’injustice, à une époque troublée par les conflits religieux et les luttes de pouvoir – c’était l’époque de Richelieu, de Mazarin, des mousquetaires. Et pourquoi Fermat tenait-il tant à rencontrer Pascal, comme on le lit dans une étrange lettre de juillet 1660, alors même qu’il ne pouvait plus rien attendre de lui ? Tous deux étaient en outre déjà très malades. Pourquoi ne pas lui transmettre un courrier, tout simplement ?

VII. Vēnīvīdīvīcī, văle : 4 mots écrits par Pierre Fermat entre les lignes

  • Étrange ? que le mot detexi ait été transformé à deux reprises au moins. Oui.
  • Étrange ? que cette note n°2 ait été si souvent mal traduite ? Non puisque l’on est toujours resté ‘bloqué’ sur ce qui était arithmétique. En outre, c’est la dernière phrase, très curieuse, qui était intrigante,  c’était déjà bien assez !
  • Étrange ? que dans ses écrits, quand il l’estimait nécessaire, Fermat utilisait toutes les subtilités du latin. Non.
  • Étrange donc, qu’il ait écrit ses observations du Diophante en latin ? Non.
  • Étrange ? qu’il ait tenu à ce que le titre de cette seule note soit écrit en toutes lettres ? Non.
  • Étrange ? qu’on n’ait jamais retrouvé ce Diophante ? Oui et non.
  • Étrange ? que s’il n’eût pas été certain de sa preuve, et qu’un jour on aurait pu montrer que son théorème était faux, il ait pu envisager d’être encore dénigré après sa mort ? Oui. Car la gloire mathématique qu’il avait si largement méritée après un travail ardu et acharné était loin de lui être indifférente, et parce qu’il désirait que la science des nombres fasse de gros progrès par ses travaux.
  • Étrange ? qu’il ait soumis sa conjecture des nombres de la forme 22n + 1 , qu’il savait fausse, à sept de ses correspondants. Non.
  • Étrange ? qu’il se soit obstiné à le faire sur une période de 19 ans. Non.
  • Étrange ? que ce soit la dernière formulation qui ait été ambigüe, celle qui fut adressée à un jeune mathématicien de 30 ans (Huygens), le dernier mathématicien qui aurait peut-être pu tenter de le suivre dans ses travaux. Non.
  • Étrange donc ? que Fermat semble avoir tout fait pour que ce soit celle-là, la dernière, qui devienne après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les nombres de la forme 22n + 1
  • Étrange ? que Samuel de Fermat ait fait un pieux mensonge en nous laissant croire que son père avait écrit certaines très longues observations… dans la marge 😉
  • Étrange ? Que Fermat, qui avait une preuve de son Dernier Théorème, ne l’ait jamais dévoilée de son vivant. Non.
  • Étrange ? qu’il ait voulu que l’existence même de son Grand Théorème ne soit connue qu’après sa mort ? On sait qu’il a longtemps eu, lui si friand des généralisations, ce théorème à l’esprit.
  • Étrange ? que Fermat ait pris autant de risques en faisant douter la postérité sur ses compétences.
  • Étrange ? qu’il ait sereinement envisagé de fourvoyer ses détracteurs quant à sa possession d’une preuve – surtout quand il ne serait plus là, ce qui a dû bien l’amuser. Non.
  • Étrange ? qu’il ait voulu laisser son empreinte dans l’histoire des mathématiques (pédagogie, aussi).
  • Étrange ? qu’il ait fallu attendre 324 ans pour que l’on prouve que son théorème était vrai – bien qu’avec des moyens assez particuliers, la stratégie utilisée, bien loin d’être simple, est d’ailleurs indirecte. Non.
  • Étrange ? que tant d’historiens et de mathématiciens aient tenté de prouver avec des tonnes de mauvais arguments que Fermat n’a jamais eu de preuve. Non.
  • Étrange ? que dans une affaire criminelle complexe, s’il s’avérait impossible de trouver la moindre preuve de culpabilité du prévenu, qu’au contraire une multitude d’indices plaidaient en faveur de son honnêteté, celui-ci serait considéré coupable par de grands juristes universellement réputés ? Oui.  

Nous avons montré combien Fermat souhaitait que les mathématiciens le suivent dans ses travaux ardus. Nous savons aussi que c’était un habile stratège. Les mauvaises langues pourraient penser que finalement, il a pu être un peu machiavélique.

Fermat cherche à appréhender le principe premier du nombre. Cette perception restant toujours englobante, il ne prend pas les chemins de traverse qui l’en auraient éloigné, il cherche à en saisir la quintessence, la saveur première, et le mode de relation très fin, vertigineux même, qu’à plusieurs ils ont entre eux. « On a en effet le sentiment d’une aspiration profonde de Fermat vers une métaphysique des nombres, une sorte de transcendance arithmétique aux reflets pythagoriciens, […] » (Ludivine Goupillaud). En un temps très court Fermat a assemblé les maillons de sa chaîne de compréhension.

Après avoir prouvé l’impossibilité des cas n=4 et n=5, Fermat a très vite la certitude, sans en avoir la preuve, que s’étend à l’infini. Sa méthode de la descente ici n’est plus adaptée. Il connaît les travaux de Viète, il connaît les étranges propriétés du triangle arithmétique, et propose en 1640 son Petit théorème à Frénicle. En 1654, Blaise Pascal âgé de 31 ans écrit son « Traité du triangle arithmétique ». En 1660, Fermat, alors que sa santé décline, presse (sans succès) son ami Pascal, encore plus malade que lui, d’accepter une rencontre pour « converser quelques jours avec vous ».

La démonstration de Pierre Fermat n’intéresse aucunement les mathématiciens, déroutés et même parfois violemment opposés à la manière non conventionnelle dont il l’a formulée au XVIIe siècle. Il y a de quoi être dégoûté ! Méditer sur cette énigme, sur son histoire surtout, est fort instructif pour le chercheur de vérité. Le minimum que nous pouvions faire était de lui rendre ce “devoir de mémoire” en saluant une nouvelle fois le génie d’un immense pédagogue.

Fermat pouvait-il être assuré que sa démonstration, profondément enfouie, hermétique à l’extrême, puisse être un jour découverte ? Assurément non. Tous les mathématiciens qui auraient pu le suivre l’avaient définitivement lâché. Pour ceux qui, peut-être, accepteraient un jour de reprendre le flambeau, il s’en remettra au destin. Sans absolument leur mâcher le travail (son époque était l’époque des défis, en mathématiques), par une galéjade qui laisse pantois et deviendra célèbre, il livre son testament, dans un exploit formidable il révèle en trois lignes et demie comment il a démontré son Grand Théorème à l’aide des seuls outils connus de son temps. L’étude de ses travaux, de sa correspondance, de sa vie, de la psychologie du personnage surtout, est un sujet de méditations indéfectible. Sous l’aspect d’une énigme, l’observation est un trésor d’ingéniosité, le point d’acmé du livre entier que souhaitait consacrer Fermat à la science des nombres. Il écrit aussi dans l’observation XVIII :

« […] j’ai décidé de consacrer un livre entier à ce sujet et de repousser d’une façon étonnante les bornes de cette branche de l’arithmétique, au-delà des limites anciennement connues ». Ce livre, qui devait repousser ‘’d’une façon étonnante’’ les bornes de la ‘’science des nombres’’, manque-t-il cruellement ? Le grand œuvre de Fermat ne consiste qu’en :

– quarante-sept« OBSERVATIO D.P.  F. »

– une « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT » (la note énigmatique)

Ces 48 observations tiendraient en quelques pages. De la plus célèbre d’entre elles, Fermat était-il assuré qu’une démonstration qui y aurait profondément enfouie, hermétique à l’extrême, serait un jour découverte ? Assurément non. Tous les mathématiciens qui auraient pu le suivre dans ses recherches l’ont définitivement lâché. Que fait un éminent professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, ont quitté le cours, que fait un génie que nul ne peut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline, quelle ressource reste-t-il à un grand pédagogue qui a toujours ardemment désiré que la science des nombres progresse, va-t-il renoncer ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, en en disant le moins possible, tant en effet cette stimulation joue un rôle important dans la recherche. Or la science des nombres y a pris un nouvel essor. Fermat va garder la même démarche. Pour ceux qui, peut-être, accepteraient un jour de reprendre le flambeau, il s’en remet à la bonne volonté des hommes. Comme il l’a toujours fait, sans aucunement leur mâcher le travail, il livre 48 brèves observations. Parfois «  il manque de place », parfois «  le temps lui manque » pour exposer une démonstration (toujours admirable), de ce qu’il avance. Une seule fois il livre la démonstration d’un théorème, celle du cas n=4, encore prend-il soin de ne pas le préciser quand il écrit : « L’aire d’un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré. » On appelle désormais ce théorème « Théorème de Fermat sur les triangles rectangles » et l’on en déduit immédiatement la preuve pour le cas particulier n=4 de son grand théorème.

Si l’on cherche ce livre entier, il n’est que de lire l’Arithmetica de 1670 auxquelles sont adjointes 48 ‘’observations’’ très stimulantes. Ont-elles aidé les mathématiciens à repousser les bornes de la science des nombres ‘’au-delà des limites anciennement connues‘’ ? Indubitablement. La pépite qui y figure est une galéjade qui laisse pantois et restera célèbre. Jamais on n’avait vu, jamais plus on ne verra, un génie fût-il universel livrer la démonstration d’un puissant théorème sous la forme d’une énorme blague, qui laisse tant à penser  (« j’ai réellement mis à nu… une étonnante démonstration… mais [heureux êtes-vous !], la marge est trop étroite »).

« La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Traité du Sublime (auteur inconnu, Longin peut-être).

A-t-on jamais vu un tel cachotier ? Repensons à son autre conjecture qui a tant fait de bruit elle aussi, celle des ‘’Nombres de Fermat’’.

De vous à moi

Si j’avais été mathématicien, jamais je n’aurais pensé à chercher ces arguments afin de réhabiliter Pierre de Fermat, j’eus été empêché de sortir de tous les sentiers battus qui avaient abouti à une légende urbaine. Les techniques sophistiquées qu’utilise le mathématicien contemporain exigent de nombreuses recherches, rigueur et patience, elles occupent tout son temps. Face à une question qui pour lui n’est plus mathématique, a si peu d’intérêt (même si elle est en rapport direct avec sa discipline), contraintes professionnelles ne lui permettent pas de sortir de son champ d’étude. Pour détricoter une énigme comme celle de Fermat, c’est le pédagogue singulier, le combattant isolé, qu’il fallut convoquer. Son arme de prédilection est le défi, dont il use à profusion, trop peut-être. Il lui faut une excuse, un rempart qui le laissera crédible. Ce rempart est la facétie, et il en use à un même degré. Prendre acte de ce constat est nécessaire. Pour avoir une toute petite chance d’avoir accès à son Dernier défi, il fallut donc aller voir directement à la source, trouver, puis exploiter la traduction la plus exacte, la plus fidèle possible de l’OBSERVATIO II. Ensuite, et en espérant que Fermat n’en était pas resté là, nous dûmes continuer de chercher patiemment, avec beaucoup d’obstination, toutes les autres pistes que Fermat aurait pu laisser. Ce fut très long, parfois grisant, souvent semé d’embûches. Mais toujours ce fut passionnant.

Suggestions pour qui voudrait aller plus loin

Si vous souhaitez visiter le site de Roland Franquart, ne le faites que si vous disposez d’un très bon logiciel anti malware en temps réel (‘malwarebytes premium’ est excellent), et d’un antivirus à jour, car des personnes mal intentionnées s’amusent parfois à y introduire des logiciels malveillants. Si votre ordinateur est ainsi protégé vous ne risquez rien. Je n’ai pour ma part jamais eu le moindre souci depuis dix ans que je l’utilise (mais avant, oui). Son site : franquart.fr

Que le mathématicien ne s’attende pas à y trouver une démonstration formulée conventionnellement, elle est construite avec les seuls outils dont disposait Fermat, les notions les plus fondamentales de la science des nombres, et peut fortement déstabiliser un mathématicien de notre époque.

Anagrammes

Petri de Fermat : permettra défi

Pierre de Fermat : préféra méditer

Dernier théorème :  étreindre Homère

En modifiant l’ordre des mots : Petri de Fermat permettra défi dernier théorème, Pierre de Fermat préféra méditer, étreindre Homère.

claude-mariotti (at) orange.fr

Article connexe : Rêver avec Grothendieck

Remerciements

Merci à Catherine GOLDSTEIN pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheur, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage Un théorème de Fermat et ses lecteurs, parfois un ardu à lire, est magnifique par tout ce qu’il apporte d’enseignements, j’en ai tiré un grand profit.

Merci à Aurélien ALVAREZ, à Albert VIOLANT i HOLZ pour son ouvrage L’énigme de Fermat –- trois siècles de défi mathématique.

Merci à Laurent HUA et Jean ROUSSEAU pour leur ouvrage, qui lui aussi fut une source d’inspiration et une aide.

 

Bibliographie restreinte

  • Catherine Goldstein :
  • Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995. Voir l’article de Alain Herreman et l’article de Hélène Gispert au sujet de l’ouvrage.
  • L’arithmétique de Pierre de Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche microsociale, Sciences et techniques en perspective, IIe série, 8, (1), p. 14-47. [fichier PDF, 620 Ko], 2004.
  • Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mise en oeuvre chez Fermat, Levi, Mordell et Weil, Cahier du Séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques, 2ème série, volume 3, 1993, p. 25-49. [fichier PDF, 152 Ko], 1993.
  • Avec Karim Belabas « Fermat et son Théorème (et quelques variations arithmético-cryptographiques) », Orsay Info, vol. 57,‎ novembre 1999version préliminaire.
  • Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal », Essai. L’Harmattan, 2002. La 1ère partie (128 pages) est une étude historique : Fermat, formulations partielles et leur contexte.
  • Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, RBA (es) – Le Monde, coll. « Le Monde est mathématique » (n° 9), 2013, 154 p.
  • Jacques Roubaud, Mathématique : (récit), Seuil, 1997.
  • Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Éditions Droz, 2005, dont une étude de Ludivine Goupillaud, Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat.
  • Alexandre GrothendieckRÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien
  • Arthur I. Miller : Intuitions de génie – Images et créativité dans les sciences et les arts. Éditions Flammarion, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, 2000 pour la traduction française.

Une fiction

Un lundi de l’an 1640

   Pierre Fermat entre au salon avec son plateau de petit-déjeuner, s’attable à côté de Clément Samuel. Il semble en pleine forme ce lundi, c’est d’autant plus étonnant que durant les dernières semaines il a plutôt été ronchon, du mal à en décrocher une.

  • Bonjour mon fils, bien dormi ?
  • Oui père, et vous-même ?
  • Fort bien, je te remercie.

Où est-il donc allé ce dimanche sans rien dire à personne ? Pierre semble beaucoup apprécier cette collation en compagnie de son fils, il prend plus de temps que de coutume. S’il n’était si bien éduqué il se serait peut-être permis un rot. Finalement il repousse son couvert, sourit à son fils mais ne pipe mot.

  • Vous semblez joyeux, père, une bonne nouvelle ?
  • Fiston, j’ai travaillé une semaine entière sur la question la plus difficile que j’ai jamais eu à examiner. Eh bien figure-toi qu’hier je suis tombé sur le derrière.
  • [Il est marrant le pater] Où donc étiez-vous toute la journée, mère vous cherchait partout ?
  • J’ai pique-niqué sur les quais de l’Agoût, puis une longue promenade en oubliant tout ce que je savais des nombres. Mais pas ce qu’ils m’ont appris, bien sûr. Es-tu déjà allé sur les quais ?
  • J’y emmenais parfois une jeune fille fort avenante.
  • Tu ne l’y emmènes plus ?
  • Elle s’est fait admonester par son père sous prétexte que nous n’avons que dix ans. En réalité il ne veut pas entendre parler des Fermat, il avait l’air méchant m’a-t-elle dit, ça lui a fait bien peur.
  • Un de plus qui craint pour sa réputation.
  • Elle n’était pas si jolie, mais bien gentille tout de même.
  • Les enfants paient souvent pour les parents. Quant à moi, m’en revenant hier, j’ai trouvé un trésor, le calcul ne me lâchera plus, mon fils.
  • Quel en est le sujet ?
  • Il s’agissait de prouver par a+b qu’aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux autres du même nom, tu te souviens que tu m’avais dit que ce serait rigolo de faire comme si le théorème de Pythagore était faux, on prouverait ensuite que ce serait la seule possibilité pour que l’on trouve de telles puissances. Mais comme Pythagore a raison, on ne pourrait ainsi trouver aucune puissance qui soit partagée en deux autres. C’est une jolie idée que tu as eue, et je suis fier de toi. On ne peut pas l’exploiter ainsi, mais globalement tu as raison. Je pensais à ton idée en m’endormant et je me demandais si tu avais une idée de ce que tu voudrais faire plus tard ?
  • [Yeux écarquillés : il est trop fort le pater, il ne m’en dira pas plus] J’aimerais bien être géomètre mais j’ai parfois remarqué que la lumière de votre bureau était allumée en pleine nuit, alors je me demande si pour moi ce serait une si bonne idée, j’ai toujours du mal à me réveiller.
  • Tu aimes beaucoup lire n’est-ce pas ?
  • Oh pour ça oui ! Et j’écris de la poésie.
  • Magnifique. Tu voudras bien me dire quelques uns de tes poèmes ?
  • D’accord.
  • Pour ce qui est du calcul qui nous a fort occupé, c’est grâce à ta mère que j’ai pu me sortir de l’ornière, je pensais à cette histoire de bahut qui la tracassait et j’ai voulu me changer les idées en marchant. Elle ne saura jamais l’immense service qu’elle m’a rendu.
  • Moi je lui dirai.
  • C’est bien mon fils.
  • Donc vous avez trouvé la preuve pour toutes les puissances.
  • Toutes. Sauf une heureusement !
  • Pourquoi faillait-il le prouver ?
  • Vois-tu mon fils, quand quelque chose de magnifique pourrait exister, que ça paraît à la fois évident et impossible, j’ai appris qu’il faut s’endormir avec ce paradoxe à l’esprit. C’est ainsi qu’on fait les rêves les plus étonnants.
  • J’ai fait cela avec ma copine et ça n’a jamais marché.
  • Il faut trouver un autre paradoxe, plus adapté à ta situation.
  • Et pour le bahut aussi vous avez trouvé ?
  • Ah ! pour le bahut… Nous allons nous en débarrasser, il prend trop de place.
  • Cette question des puissances, elle était réellement très difficile ?
  • Ce qui était difficile, c’était de savoir rester très humble. Il fallait aussi de la foi et de l’audace. Eh oui j’ai trouvé, j’ai même trouvé beaucoup mieux qu’une solution.
  • Je voudrais être grand.
  • Ne sois pas trop pressé. Sais-tu mon fils, quand un obstacle semble très difficile, nous pensons souvent qu’il faudrait sauter très haut pour le franchir, la plupart des gens s’y épuisent, finissent par renoncer. Pas un instant ils ne songent que si l’obstacle est aussi élevé, c’est justement pour leur laisser la place de passer par en dessous. Plus l’obstacle est élevé, et plus il faut regarder devant soi. Si tu restes le nez en l’air tu ne vois pas les chemins qui s’offrent à toi. Pour en revenir à notre question, nous allons la garder pour la fine bouche, on va bien s’amuser fiston.
  • Chouette !
  • Ils se croient plus malins que nous ces Anglais, on va leur donner du boulot, pas seulement à eux d’ailleurs. Et ils ne vont pas aimer. Mais alors pas du tout !
  • Tant mieux !
  • L’obstacle que je leur présenterai leur paraîtra tellement élevé qu’ils risquent de ne jamais le surmonter. Je les vois d’ici construire des échafaudages de bric et de broc pour sauter le plus haut possible. Ce serait bien dans la veine des Anglais, tiens, isolés sur leur petit coin de terre, leurs géomètres ont toujours peur de paraître prétentieux en parlant d’eux-mêmes, et ils ne m’aiment pas trop dans ma manière de leur présenter les plus grands défis. Bien que très discrets, ils peuvent être terriblement revanchards. Oui, le coup pourrait venir des Anglais.
  • Qu’allez-vous faire ?
  • Nous en dirons le minimum, juste ce qu’il faut. Nous laisserons un fil rouge un peu partout, tout en brouillant un maximum de pistes. Je me mettrai plus bas que terre et tu verras qu’ils répandront toutes les rumeurs possibles. J’aurai besoin de toi quand tu seras un peu plus âgé.
  • Mais je devrai les laisser dire du mal de vous ?
  • Ce sera le prix à payer pour que ce soit vraiment amusant. Tout se déroulera exactement comme je te l’ai dit, il ne peut en être autrement. Toi, tu seras le passeur, ce n’est pas pour rien que tu te prénommes Samuel, et tu seras fier de porter notre nom.
  • Et pour ma copine ?
  • Elle prend tant de place que ça ?
  • Trop de place.

Continuer à lire … « Un théorème, une mathématicienne et leur lecteur : l’énigme de Fermat passée au crible »

Réflexions théologiques

•  Pour le croyant, l’instant présent – inscrit dans le temps, temps qui est grâce donnée à nous par l’Éternel – est la meilleure raison d’affermir sa foi. Cet instant présent, cet intense instant de vie, nous permet de ne pas songer à tout moment à la mort terrestre. TENTER de vivre en Dieu chaque instant est le plus sûr moyen pour quiconque ayant reçu le don de la foi, par son éducation ou par les circonstances de sa vie, d’acquérir chaque jour un peu plus de lucidité, dans  les joies comme dans l’épreuve.

Rêver avec Grothendieck

Le génie mathématicien Alexandre Grothendieck (1928-2014, médaille Fields en 1966) écrivit La Clef des songes. Dans cette œuvre puissante et originale il nous révèle la méthode spirituelle avec laquelle il a pratiqué et vécu une auto-analyse qui lui a permis de résister avec une conviction et une force rarement vues (jamais vues à ma connaissance, même pas chez Freud) aux préjugés, fausses croyances et avis officiels les plus académiques dans la sphère mathématique – entre autres.

• « Mais il arrive que le message d’un grand rêve apparaisse d’emblée dans son évidence, à une tierce personne à qui on en fait le récit. La raison en est, bien sûr, qu’en cette tierce personne, qui n’est pas directement concernée par le message, il ne se produit pas de levée en masse des résistances contre le renouvellement. Pour tous les rêves messagers qui me sont venus et que j’ai sondés, il m’a fallu des heures, et parfois des jours de travail, pour en saisir le message. » Alexandre Grothendieck, La Clef des songes, page 24, note de bas de page.

• Tout rêve, selon Freud, est l’accomplissement d’un désir (réprimé), et pour parler simplement, disons que le rêve sert à intégrer, sans effort de volonté, dans le jour qui suit la nuit du rêve, le vécu du jour précédent. Le rêve même oublié, ou non analysé, est indispensable à l’équilibre mental, il crée le lien nécessaire entre le désir réprimé et notre être profond, il tisse, dans le travail du rêve, un pansement complexe et puissant. En somme il ne fait que rapiécer, raccommoder, pour que nous puissions rester en accord avec nous-même et continuer à vivre cahin-caha.

A contrario, si ayant pris l’habitude de noter le plus rapidement possible nos rêves, au moins dans les grandes lignes, nous faisons ensuite l’effort de nous les remémorer pour tenter de les compléter et les décrypter au mieux, si nous comprenons ce qu’ils nous révèlent, nous pourrons à force d’expérience nous approcher de plus en plus de notre être le plus profond, mieux discerner, devenir plus lucides. À la solution de facilité de la première option (se laisser vivre en laissant chaque nuit le subconscient rafistoler les blessures psychologiques afin de permettre au vieux juge intérieur, forgé au cours de l’enfance par l’éducation, de reprendre les rênes de notre conduite), se substitue dans la seconde option un travail actif de connaissance de soi – et par là même, des autres.

Ayant effectué moi-même une analyse, sur le divan comme il se doit, je veux vous partager deux des rêves insistants, porteurs d’un fort message (ceux-là sont très rares), faits à l’âge adulte alors que j’effectuais déjà une thérapie en position assise. Comme beaucoup d’autres analysants j’imagine, je poursuis toujours ce travail d’analyse par une auto-analyse. En effet dès que l’on a trouvé, par la force des choses, parfois par nécessité vitale (ce fut mon cas) la clef du trésor en soi, on n’est pas prêt de l’abandonner, ce trésor, tant on sait qu’il est inépuisable. La plus magistrale leçon que j’ai tirée de la longue et enrichissante étude de mon cas, et par extension des cas les plus désespérés, c’est que plus une situation de laquelle on aura réussi à se sortir aura été grave, terrible parfois, et mieux nous percevrons la formidable puissance de la vie. N’imaginez pas que je n’ai, moi aussi, des moments de doute, de révolte ou de mélancolie, mais me connaissant assez bien maintenant, ayant au fil des ans, des plus grandes contrariétés comme des joies les plus sublimes, créé mon propre programme antivirus (qui le plus souvent se met à jour automatiquement), il est toujours arrivé un moment où mon “logiciel interne” commençant à patiner, j’ai dû admettre que j’avais accepté l’intrusion d’un virus très parasite. Dans ces cas-là je me sens obligé, parfois après un peu de temps et de réflexion, de lancer le programme antivirus à sa puissance maximale. Le résultat est parfois très surprenant, toujours apaisant – en passant, l’antivirus est devenu encore plus performant. Qui a dit que notre monde était « le meilleur des mondes possibles » ? Encore un mathématicien.

Je dois d’abord dire qu’en juillet 1997, deux mois avant le tremblement de terre qui endommagea gravement la basilique d’Assise, je me trouvais dans cette ville. Avec des amis nous allions effectuer une randonnée pédestre d’une semaine en parcourant l’Ombrie. Venant d’endroits différents, dans l’attente les derniers arrivants, le rendez-vous avait été fixé sur la Grand-Place à une terrasse de café, avant de parcourir cette province chargée d’histoire. Cinq ans plus tard le premier rêve a eu pour décor cette même Grand-Place, mais à une autre terrasse, toute proche, située à angle droit par rapport à la premièreJ’y suis assis, entouré de mon père et de ma mère. Je leur dis : « Il faut trouver la tombe de Jésus. » Mon père rétorque : « C’est dangereux ça. » Ma mère : « On peut essayer. » Je m’éveille et note tout de suite ce rêve qui me paraît complètement loufoque. Vraiment il est si loufoque, si incompréhensible (mais pourtant tellement précis ! – et si court, si dense, si chargé) que je n’y comprends absolument rien. Par chance j’ai rendez-vous le lendemain chez mon analyste et lui fais part du rêve. Il fait une seule remarque : « Dans une tombe on est allongé. » J’ai tout de suite compris. Il me faut replacer les choses dans leur contexte.

J’étais en thérapie depuis plusieurs mois déjà, préférant être assis sur une chaise (et donc sur la défensive) plutôt que de m’allonger sur le divan, position que je trouvais très vulnérable. En effet, bien avant cette thérapie, après avoir lu le livre d’une psychanalyste écrivant qu’une analyse pouvait détruire une personne (je pense qu’elle faisait allusion aux personnes n’ayant pas encore un moi suffisamment structuré), j’avais conçu puis entretenu au fil des années une peur panique de la position allongée sur un divan de psychanalyste. Or après ces quelques mois d’une thérapie très bénéfique, je me sentais de plus en plus confiant et motivé, pressentant avec beaucoup d’acuité qu’en position allongée, les muscles du corps complètement détendus et sans le face-à-face avec le thérapeute, gênant pour moi autant que pour lui, je pourrais me détendre complètement. Lorsque dans le rêve je dis à mes parents : « Il faut trouver la tombe de Jésus », je leur soumets en fait cette proposition : « Il faudrait que je m’allonge sur le divan. » Car la tombe de Jésus, Jésus symbolisant pour moi la Connaissance, signifiait dans le message à peine voilé du rêve l’acquisition de la connaissance de soi grâce à la position allongée (comme Jésus qui serait allongé dans une tombe). Peut-être la tombe faisait-elle aussi allusion au fait de mourir à moi-même pour renaître plus vivant, pour me re-susciter. Le travail du rêve, avant que le rêve lui-même ne me parvienne, fut donc extrêmement élaboré comme on le verra aussi plus loin.

Quand mon père dit : « C’est dangereux, ça », c’est mon côté masculin, volontariste mais prudent ! qui s’exprime, puis quand ma mère dit « oui mais on peut essayer », c’est mon côté intuitif, féminin et maternel, qui m’encourage : même si ça peut paraître dangereux au premier abord, il vaut la peine d’essayer de faire quelque chose de si extraordinaire : trouver la tombe de Jésusaller voyager, détendu, dans les profondeurs de mon subconscient afin de mieux me connaître. Décidément il faudra bien un jour que je m’allonge sur le divan ! Les terrasses des deux cafés, formant entre elles un angle droit, ont-elles la même signification puisque je dois faire effectuer à mon torse un angle droit pour passer de la position assise à la position allongée ? De cela je ne suis pas certain, il s’est produit dans d’autres de mes rêves un déplacement similaire d’une scène à angle droit. C’est quand même incroyable !, absolument tous les rêves peuvent donc s’expliquer, même les plus étranges, ou ceux qui semblent totalement absurdes (ou/et parfois très touffus). Deux jours plus tard, une évidence m’a frappé : pour que mon rêve soit le plus apaisant possible, le travail du rêve a bien fait les choses : tout à fait au ras des pâquerettes pour ne pas effaroucher la pensée consciente, il a placé le rêve à Assise. Quand cette évidence s’est révélée mon égo en a pris un sacré coup ! Pourquoi donc m’a-t-il fallu deux jours pour faire ce rapprochement ? Devais-je m’en étonner ? Pas tant que ça, car à Assise, j’y étais bien allé et en avais gardé un merveilleux souvenir. Le Grand rêveur en soi, quand il sent le moment propice pour délivrer un message, fait preuve lors du travail du rêve de toute sa bienveillante intelligence, ménageant avec beaucoup de délicatesse le Petit rêveur (dans le quasi-conscient) : au cours de ses aller-retour entre conscient et inconscient, il discerne tout ce qui pourrait effrayer, et soit à l’aide de jeux de mots soit par tout autre moyen il prend soin de ne pas nous révéler brutalement un message trop explicite et bouleversant, en les codant d’une manière particulièrement astucieuse. Libre à nous ensuite de négliger toute l’aide qu’il a jugée nécessaire de nous fournir, ou de se mettre au travail (travail qui peut prendre des heures, voire beaucoup plus pour certains rêves très obscurs, si l’on veut le comprendre complètempent). Si l’on réussit ce travail – je pense que c’est toujours le cas pour les grands rêves, qui sont très concis, nets et puissants – on est tellement émerveillé de la sagesse de notre inconscient, tellement heureux d’avoir eu ce rêve, qu’on croit à son message sans aucune difficulté.  S’habituer à étudier un minimum même les rêves les plus bénins ou les plus obscurs facilite la venue de rêves plus importants. Oui il était rassurant ce nom d’Assise, pas seulement par son symbolisme spirituel et apaisant pour moi (je suis redevenu – ou plutôt devenu croyant, quand la certitude de l’existence de Dieu se fût imposée à moi après un “déblocage” psychologique aussi massif qu’inattendu), il faisait aussi ami-ami avec cette position assise et sans danger dans le contexte d’un rêve qui par son sens caché mais profond, m’encourageait à prendre enfin le risque de m’allonger sur le divan pour m’ouvrir complètement à la petite voix qui viendra apaiser ma soif de comprendre au moins l’essentiel. Dans le rêve d’ailleurs je suis assis, entouré des parents protecteurs. Je ne dois pas être bien loin de m’allonger sur le divan…

Deux nuits plus tard j’ai fait un second rêve. Accroupi dans une tranchée profonde peut-être de deux mètres je suis occupé à trier à grand peine d’innombrables débris d’assiettes, (comme dans la maison Picassiette à Chartres), recouverts de quelques millimètres d’eau, pour les ré-assembler. Ce travail épuisant semble interminable. Puis le rêve sans transition se poursuit, je suis maintenant debout sur la terre ferme, face un monticule où s’empilent différentes strates. “Le haut” du monticule (élever la pensée) est ici en opposition “au bas” de la fosse, siège des empreintes laissées par les pensées basses, fosse où toutes les pièces du puzzle sont dispersées, puisqu’en haut de ce monticule, à hauteur de mes yeux (« c’est devant tes yeux ») la strate est en minerai d’or.

– Mon premier réflexe : « De l’or ! (Waouh !) »

– Mon deuxième : « Mais il n’est pas pur… »

– Mon troisième : « On peut l’extraire. »

Je rapporte ce rêve au thérapeute et dans la foulée me dirige vers le divan. Ma dernière phrase avant de m’y allonger : « Se coucher devant l’autorité ! » – pas fou le garçon, l’analyste avait intérêt à être gentil avec moi 😉

– Maître-article : L’énigme de Fermat passée au crible (math, philo des math, loin des sentiers battus)