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Un théorème, une mathématicienne et leur lecteur : l’énigme de Fermat passée au crible

Mis à jour le 14 mars 2019.

Relecture à faire

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. » Jacques Roubaud, MATHÉMATIQUE : (1997)

« Quoi qu’il en soit, cette approche, où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs (1995)

I. Avant-goût : Imagine

II. Pourquoi ce site ?

III. Intermède grothendickien

IV. La question qui tue

V. Les 48 observations ont-elles été écrites “dans la marge” ?

VI. Fermat pensait-il que sa conjecture sur les nombres de la forme 22n + 1 était vraie ?

VII. Le latin, « marqueur du sublime par excellence » dans les mathématiques

VIII. Vēnī, vīdī, vīcī, văle : 4 mots écrits entre les lignes par Pierre Fermat

IX. Résumé

Bibliographie restreinte

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 Avant-goût

Un lundi de l’an 1640

   Pierre entre au salon avec son plateau de petit-déjeuner, s’attable à côté de Clément Samuel. Il semble en pleine forme ce lundi, c’est d’autant plus étonnant que durant les dernières semaines il a plutôt été ronchon, du mal à en décrocher une.

  • Bonjour mon fils, bien dormi ?
  • Oui père, et vous-même ?
  • Fort bien, je te remercie.

Où est-il donc allé ce dimanche sans rien dire à personne ? Pierre semble beaucoup apprécier cette collation en compagnie de son fils, il prend plus de temps que de coutume. S’il n’était si bien éduqué il se serait peut-être permis un rot. Finalement il repousse son couvert, sourit à son fils mais ne pipe mot.

  • Vous semblez joyeux, père, une bonne nouvelle ?
  • Fiston, j’ai travaillé une semaine entière sur la question la plus difficile que j’ai jamais eu à examiner. Eh bien figure-toi qu’hier je suis tombé sur le derrière.
  • [Il est marrant le pater] Où donc étiez-vous toute la journée, mère vous cherchait partout ?
  • J’ai pique-niqué sur les quais de l’Agoût, puis une longue promenade en oubliant tout ce que je savais des nombres. Mais pas ce qu’ils m’ont appris, bien sûr. Es-tu déjà allé sur les quais ?
  • J’y emmenais parfois une jeune fille fort avenante.
  • Tu ne l’y emmènes plus ?
  • Elle s’est fait admonester par son père sous prétexte que nous n’avons que dix ans. En réalité il ne veut pas entendre parler des Fermat, il avait l’air méchant m’a-t-elle dit, ça lui a fait bien peur.
  • Un de plus qui craint pour sa réputation.
  • Elle n’était pas si jolie, mais bien gentille tout de même.
  • Les enfants paient souvent pour les parents. Quant à moi, m’en revenant hier, j’ai trouvé un trésor, le calcul ne me lâchera plus, mon fils.
  • Quel en est le sujet ?
  • Il s’agissait de prouver par a+b qu’aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux autres du même nom, tu te souviens que tu m’avais dit que ce serait rigolo de faire comme si le théorème de Pythagore était faux, on prouverait ensuite que ce serait la seule possibilité pour que l’on trouve de telles puissances. Mais comme Pythagore a raison, on ne pourrait ainsi trouver aucune puissance qui soit partagée en deux autres. C’est une jolie idée que tu as eue, et je suis fier de toi. On ne peut pas l’exploiter ainsi, mais globalement tu as raison. Je pensais à ton idée en m’endormant et je me demandais si tu avais une idée de ce que tu voudrais faire plus tard ?
  • [Yeux écarquillés : il est trop fort le pater, il ne m’en dira pas plus] J’aimerais bien être géomètre mais j’ai parfois remarqué que la lumière de votre bureau était allumée en pleine nuit, alors je me demande si pour moi ce serait une si bonne idée, j’ai toujours du mal à me réveiller.
  • Tu aimes beaucoup lire n’est-ce pas ?
  • Oh pour ça oui ! Et j’écris de la poésie.
  • Magnifique. Tu voudras bien me dire quelques uns de tes poèmes ?
  • D’accord.
  • Pour ce qui est du calcul qui nous a fort occupé, c’est grâce à ta mère que j’ai pu me sortir de l’ornière, je pensais à cette histoire de bahut qui la tracassait et j’ai voulu me changer les idées en marchant. Elle ne saura jamais l’immense service qu’elle m’a rendu.
  • Moi je lui dirai.
  • C’est bien mon fils.
  • Donc vous avez trouvé la preuve pour toutes les puissances.
  • Toutes. Sauf une heureusement !
  • Pourquoi faillait-il le prouver ?
  • Vois-tu mon fils, quand quelque chose de magnifique pourrait exister, que ça paraît à la fois évident et impossible, j’ai appris qu’il faut s’endormir avec ce paradoxe à l’esprit. C’est ainsi qu’on fait les rêves les plus étonnants.
  • J’ai fait cela avec ma copine et ça n’a jamais marché.
  • Il faut trouver un autre paradoxe, plus fort de préférence.
  • Et pour le bahut aussi vous avez trouvé ?
  • Ah ! pour le bahut… Nous allons nous en débarrasser, il prend trop de place.
  • Cette question des puissances, elle était réellement très difficile ?
  • Ce qui était difficile, c’était de savoir rester très humble. Il fallait aussi de la foi et de l’audace. Eh oui j’ai trouvé, j’ai même trouvé beaucoup mieux qu’une solution.
  • Je voudrais être grand.
  • Ne sois pas trop pressé. Sais-tu mon fils, quand un obstacle semble très difficile, nous pensons souvent qu’il faudrait sauter très haut pour le franchir, la plupart des gens s’y épuisent, finissent par renoncer. Pas un instant ils ne songent que si l’obstacle est aussi élevé, c’est justement pour leur laisser la place de passer par en dessous. Plus l’obstacle est élevé, et plus il faut regarder devant soi. Si tu restes le nez en l’air tu ne vois pas les chemins qui s’offrent à toi. Pour en revenir à notre question, nous allons la garder pour la fine bouche, on va bien s’amuser fiston.
  • Chouette !
  • Ils se croient plus malins que nous ces Anglais, on va leur donner du boulot, pas seulement à eux d’ailleurs. Et ils ne vont pas aimer. Mais alors pas du tout !
  • Tant mieux !
  • L’obstacle que je leur présenterai leur paraîtra tellement élevé qu’ils risquent de ne jamais le surmonter. Je les vois d’ici construire des échafaudages de bric et de broc pour sauter le plus haut possible. Ce serait bien dans la veine des Anglais, tiens, isolés sur leur petit coin de terre, leurs géomètres ont toujours peur de paraître prétentieux en parlant d’eux-mêmes, et ils ne m’aiment pas trop dans ma manière de leur présenter les plus grands défis. Bien que très discrets, ils peuvent être terriblement revanchards. Oui, le coup pourrait venir des Anglais.
  • Qu’allez-vous faire ?
  • Nous en dirons le minimum, juste ce qu’il faut. Nous laisserons un fil rouge un peu partout, tout en brouillant un maximum de pistes. Je me mettrai plus bas que terre et tu verras qu’ils répandront toutes les rumeurs possibles. J’aurai besoin de toi quand tu seras un peu plus âgé.
  • Mais je devrai les laisser dire du mal de vous ?
  • Ce sera le prix à payer pour que ce soit vraiment amusant. Tout se déroulera exactement comme je te l’ai dit, il ne peut en être autrement. Toi, tu seras le passeur, ce n’est pas pour rien que tu te prénommes Samuel, et tu seras fier de porter notre nom.
  • Et pour ma copine ?
  • Elle prend tant de place que ça ?
  • Trop de place.

II. Pourquoi ce site ?

Il existe au moins trois éditions différentes de Arithmetica de 1670 

Note. i en s Recadrée 01

Version 1 (page 61 du Livre II),  consultée ici, au 1/3 de la page internet, page 141/488 dans la marge supérieure noire, où le “i” final est remplacé par un “s” surmonté d’un point, le i est inclus dans le s : en décomposant ce double signe on lit “is”, et finalement “detexis” (= Tu tisses complètement).

*

Le

Version 2,  consultée ici, où le t ressemble plutôt à une jolie tache bien étudiée. Sortie de son contexte, on ne peut y voir qu’une tache. Le point final est lui aussi exagérément surchargé, comme pour souligner l’importance de la surcharge sur le t. 

*

Sans titre 8.jp2 mots sene detexi normal Recadré

Version 3,  consultée ici. Une version quasiment sans surcharge, sauf sur le point final.

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detexzzz avec gros t

Ceci est un montage ! (collage des versions 1 et 2). Les contempteurs auraient pu dire que Fermat ne savait pas écrire correctement… 😉

. . . Bonjour et bienvenue à tous les admirateurs, professionnels et amateurs, de Pierre Fermat. Depuis longtemps je pensais créer un site pour exposer le fruit de longues recherches sur l’énigme du “Grand Théorème”. Le temps m’avait manqué jusqu’à maintenant, je m’y suis enfin décidé. L’objectif sera de faire état de tous les arguments trouvés à ce jour en faveur de l’existence d’une preuve du théorème par Fermat lui-même. Bien qu’ayant nourri depuis longtemps un goût prononcé pour la mathématique et la physique (ah ! la découverte, dans ma jeunesse, des intégrales, de la dynamique, des si belles, si simples formules, qui paraissent si logiques, si évidentes), je ne suis pas mathématicien, seulement un anonyme un peu polymathe, un peu philosophe (autodidacte) et surtout un grand curieux. Parce que je crois que si la motivation est là, on peut approcher une compréhension des mystères les plus importants de la vie, ma véritable passion est depuis longtemps la théologie. Je pense en effet que de nombreux “mystères”, quand on pratique une saine théologie, cessent d’être totalement insondables, hors de portée (dans leurs grandes lignes) de nos esprits très limités. Si leur étude, qui demande de nombreuses méditations, est complexe, ces mystères acquièrent petit à petit une apparence d’évidence, formant dans leur ensemble une architecture d’une logique admirable, qui contribue au plus haut point à nous mettre en accord avec le monde, avec nous-mêmes, nous rendant de plus en plus lucides et philosophes – un philosophe étant aussi pour moi quelqu’un qui abhorre la pensée unique, aime explorer de nouvelles voies, ou des voies déjà largement explorées par de grands esprits mais très peu connues du commun des mortels. Sur lui, le qu’en dira-t-on n’a que peu de prise, au contraire les mécanismes de la pensée unique lui deviennent de plus en plus familiers et contribuent à augmenter sa lucidité, affermir son individuation qui le préserve d’un panurgisme psychologique en constante expansion. Je veux ici faire une digression d’ordre intime, elle pourra aider à faire comprendre ma démarche. Cette prédilection pour les grandes énigmes, ce goût prononcé aussi pour répondre aux nombreux “pourquoi” que je me pose, je ne les ai pas toujours eus. C’est après que de trop gros bouleversements aient surgi dans ma vie, que j’ai donc été obligé d’effectuer une psychanalyse, obligé aussi, en parallèle, de retrouver – ou plutôt trouver – un chemin de foi (une seule de ces deux entreprises ne pouvait suffire), qu’est né en moi ce besoin vital d’appréhender au plus près les grandes questions sur la vie, le monde, sur l’homme et sur moi-même.  Il y a une très bonne raison pour laquelle ce besoin a pu venir avec autant de force, de nécessité : le désir de justice que je sens partout autour de moi – même s’il est loin d’être toujours bien orienté –, je l’ai aussi bien sûr, et comme la vie, pour moi maintenant, a forcément un sens, la justice voulait que je prenne une forte revanche sur les trente premières années de ma vie qui, je vous l’avoue, ont en général été bien ternes. J’ai déjà dit que de nombreux sujets occupent ma pensée, et lorsque j’ai commencé il y a une vingtaine d’années à m’intéresser à Pierre (de) Fermat et à son grand théorème, voyant combien de nombreux mathématiciens très académiques prétendaient (s’évertuaient parfois à clamer, sans jamais donner une seule raison scientifique valable) que « Fermat n’a jamais possédé une preuve de son théorème » – “puisque qu’il ne disposait pas des outils disponibles à notre époque” (sic) – j’ai trouvé là non seulement une grande incohérence, mais surtout un exemple de pensée unique intéressant sur une question mathématique passionnante par de nombreux aspects. Ce sujet d’étude, une énigme que l’on a trop souvent prétendue résolue (« Fermat n’a jamais trouvé ») d’une manière péremptoire, m’a donc tout de suite intéressé. J’ai déjà dit que je m’intéressais aux grandes énigmes, là j’en découvrais une (vers 1995) qui datait de plus de trois siècles. Et non seulement on continuait toujours à s’y intéresser (les années 1993 et 1994 l’ont sortie de l’oubli) mais le sort qu’on lui réservait me paraissait profondément injuste, et même incongru. Cette façon inique et moutonnière de l’évacuer, au début m’a surpris, et même révolté. Plus mes recherches avançaient, et moins j’étais surpris : quelques uns de ces savants avaient une bonne (?) raison d’être aussi péremptoires, ils étaient en effet envahis de milliers de lettres d’admirateurs de Fermat leur présentant une démonstration personnelle et bien sûr toujours fausse. En 1908, Paul Wolfskehl avait créé un prix de 100 000 marks qui récompenserait la première démonstration du théorème. Des « démonstrations » plus ou moins farfelues commencèrent à s’accumuler sur le bureau du professeur Edmund Landau, chef du Département des mathématiques à l’université de Göttingen. Il avait été chargé d’examiner toutes ces propositions de preuve. Leur nombre augmenta tellement que son travail personnel en pâtit. Il trouva alors une solution radicale, il fit imprimer en grande quantité des modèles de réponses quasiment prêts à l’emploi :

Cher…

Je vous remercie pour votre manuscrit sur la démonstration du Dernier théorème de Fermat. La première erreur se trouve : Page… , ligne… Cela infirme la démonstration.

Professeur E.M. Landau.

Puis il pria ses élèves de remplir les blancs. Les envois ne cessèrent pas pour autant, arrivant sur les bureaux de mathématiciens du monde entier. L’atmosphère autour de ce fameux théorème devenant de plus en plus troublée, il semble que l’inconscient collectif et l’effet de groupe à l’œuvre dans les hautes sphères de la discipline ont décidé qu’il faille arrêter là les dégâts et discréditer encore plus, par tous les moyens possibles, Fermat et son Grand Théorème. Rendons ici hommage aux nombreux savants qui ont fait preuve de retenue et de sagesse. Une autre raison importante qui a fait douter historiens et mathématiciens, est que s’ils connaissaient bien les travaux de Fermat, ils connaissaient beaucoup moins bien l’homme. On ne soulignera jamais assez l’importance, pour les mathématiques, de leur histoire, de la connaissance des méthodes propres à chaque savant, de l’époque à laquelle ils vivaient. Citons deux mathématiciens contemporains ayant écrit qu’on ne peut se prononcer, ni dans un sens ni dans l’autre : Catherine Goldstein, mathématicienne, chercheur et historienne des mathématiques, directrice de recherches à l’Institut de mathématiques de Jussieu-PRG (CNRS), spécialiste de Fermat. Son étude approfondie des travaux du mathématicien, de ses méthodes, du contexte de l’époque, l’ont amenée à conclure qu’on ne peut savoir s’il avait une preuve – elle aussi est pourtant bombardée de textes visant à prouver qu’il avait prouvé son théorème. De même Jacques Roubaub ne suit pas les suiveurs des suiveurs. Pourtant, nombreux sont les savants qui doutent que Fermat ait eu une preuve de son théorème, une preuve beaucoup plus courte et plus accessible que celle trouvée par Andrew Wiles en 1994. Cette formidable découverte suscita beaucoup d’enthousiasme, mêlée parfois à un peu de tristesse : pour prouver un énoncé très élémentaire il avait fallu écrire pratiquement un traité de mathématiques, d’une complexité extrême. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fit part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Au fil du temps cette note du XVIIe siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés puisque seul leur importait le théorème en lui-même, qui y était parfaitement énoncé. Le texte latin lui-même de cette note a parfois été mal rapporté, ce qui pouvait donner des traductions assez savoureuses, telles que « Dormons » (Cubem). Voici une traduction fidèle de cet énoncé. D’abord la note en latin :

CVbum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexiHanc marginis exiguitas non caperet.

  • demonstrationem est l’accusatif féminin, il se traduit par démonstration, description, raisonnement rigoureux.
  • mirabilem se traduit par étonnante, admirable, merveilleuse, singulière. C’est aussi un accusatif.
  • detexi est le parfait de l’indicatif, du verbe detego : j’ai mis au jour, dévoilé, mis à découvert. S’il avait voulu utiliser le mot latin signifiant l’expression “j’ai découvert”, il aurait employé le mot inveni (parfait de l’indicatif invenio :  découvrir, trouver) comme il le fait ailleurs. Le latin est une langue très subtile, délicate à manier.
  • Sane se traduire par : tout à fait, assurément, vraiment, réellement, absolument. C’est la forme masculine du vocatif. Il ne s’applique pas à demonstrationem, qui est féminin, mais à l’auteur > « ce dont j’ai assurément mis au jour (ou dévoilé) ». Traduire correctement cet adverbe est important comme nous le verrons plus loin. Le contraire de detexi, texi, se traduit par « j’ai couvert » (ou recouvert, caché, dissimulé). La note complète de Pierre de Fermat, en respectant le fond et la forme, en respectant aussi la forme conjuguée caperet, se traduira ainsi (c’est la traduction de Roland Franquart, vérifiable auprès de tout linguiste spécialiste de la langue latine) :

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré & en général dans l’infinité, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai réellement mis au jour l’explication surprenante. La petitesse de la marge ne la contiendrait pas. »

Un jour un petit lutin se penchera à l’oreille d’un de ces mathématiciens qui pour se rassurer aiment écrire que Fermat n’a rien découvert d’essentiel, à part sa méthode de descente infinie – et encore, Euclide la connaissait déjà, alors, Fermat, vous savez… –  et lui chuchotera : « Hep ! Tu n’as jamais pensé à faire traduire sérieusement sa fameuse note ? Il y a un prof de latin près de chez toi, alors qu’est-ce que tu attends ? » Aurez-vous la naïveté de croire que ce savant ne chassera pas d’un geste nerveux ce lutin agaçant ? Pourquoi en effet rechercher quelque chose d’étrange dans un texte déjà suffisamment étrange ? Fermat nous a déjà bien assez énervés comme ça !

Notons que Fermat est non seulement un mathématicien de génie, un latiniste distingué, un poète réputé pour sa finesse et son élégance, mais aussi un maître en matière de concision, surtout avec ce que permet l’usage du latin. Ludivine Goupillaud, qui a d’abord été chercheur et se consacre maintenant à l’enseignement, a étudié l’usage du latin chez Fermat : le latin, par rapport au français, « possède un indéniable avantage : celui d’agir comme un marqueur du sublime ».

Voici une des traductions erronées les plus répandues : « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré. J’en ai découvert une “démonstration véritablement merveilleuse” que cette marge est trop étroite pour contenir. » a) Le mot « découvert » est une mauvaise traduction. b) L’adverbe « véritablement » n’est pas à sa place puisqu’il se rapporte à « detexi » > j’en ai véritablement (ou complètement) dévoilé. Cette traduction conforme est plus importante qu’il n’y paraît : ayant analysé la psychologie de Fermat nous avons pu observer combien était grande son honnêteté, exemplaire sa moralité, non seulement dans sa charge de magistrat mais dans tous les domaines de sa vie. Le fait qu’il utilise cet adverbe pour un théorème réservé à l’Arithmetica, théorème qu’il a pris soin pendant toute sa vie de ne jamais évoquer (soyons bien certains qu’il ne l’a pas fait non plus dans les nombreuses correspondances qui ont été perdues) est à considérer avec grande attention, ce fut la plus admirable façon qu’il trouva pour perpétuer son travail de pédagogue après sa mort, continuant d’encourager ses suiveurs à travailler et à trouver par eux-mêmes – il est notable de constater que ses non-suiveurs de notre époque ont réagi de la même façon que ceux de son époque, d’autant qu’ils ne voyaient pas trop l’utilité de découvrir une preuve enfin compréhensible, préférant le considérer comme un vantard.

Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations montre clairement qu’elles ont été écrites à l’intention d’un lecteur. On y voit d’ailleurs le même soin, la même élégance, dont il fait preuve dans ses correspondances. Pourquoi avoir demandé à son fils (à notre avis, et nous y reviendrons) d’écrire en toutes lettres « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », et non en abrégé comme sur les 47 autres observations ? En outre des commentateurs comme l’historien Jean Itard ont prétexté (entre autres), que la formulation du Grand Théorème, ou même toute allusion, n’apparaît nulle part ailleurs, pour prétendre que Fermat, s’étant trompé, se serait aperçu de son erreur, mais comme il l’aurait écrite pour son seul usage personnel, il n’aurait pas eu à se rétracter. Dans son article de 1950, après avoir livré sa brève analyse, il conclut par cette formule définitive : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » Qu’est-ce qui a pu motiver Jean Itard, en tant qu’historien, à être aussi péremptoire ? Mais ne soyons pas trop surpris de cette affirmation, chez certains savants en effet les préjugés envers ceux qui leur ont ouvert la voie ont de tout temps existé, par besoin de s’affirmer, besoin de reconnaissance ou/et tout simplement désir bien humain de soutenir sa caste. Ce type d’attitude chez les suiveurs de suiveurs est propre à toutes les disciplines. De même en 1995, après la découverte de Wiles, le mathématicien Winfried Scharlau nous assure que Fermat n’aurait écrit ces notes que pour lui-même. Un argument baroque est aussi avancé pour nier une preuve du théorème : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes. » Il serait utile de se demander pourquoi non seulement des historiens, mais aussi, et c’est le plus important, d’éminents savants, veulent à tout prix que Fermat n’ait jamais eu de preuve. Certains mathématiciens qu’il titillait par ses défis en furent irrités, tels John Wallis qui l’appelait “ce damné Français”,  ou Descartes, dont on sait combien il répugnait à reconnaître les mérites d’autrui, qui le traita de “vantard”. Alors, que peuvent ressentir ces savants qui pendant 324 ans ont planché et séché sur son Dernier Théorème ? Si une partie ne se sont jamais prononcés ou ont humblement reconnu ne pas avoir d’avis sur la question, d’autres, inévitablement, ont dû en concevoir quelque vexation, imaginant que peut-être Fermat avait trouvé. Si l’on peut comprendre que des mathématiciens continuent de recevoir des démonstrations erronées d’amateurs et d’en être agacés, est-il nécessaire pour calmer les ardeurs de ces optimistes de dénigrer Fermat ? De là à continuer de chercher de nouveaux pseudo-arguments il n’y a qu’un pas. La plus célèbre observation de Fermat concerne la question VIII de l’exemplaire de l’Arithmetica qu’il possédait. Son fils Clément Samuel en fit imprimer une nouvelle édition en 1670, augmentée des 48 observations. Celle dont il est question, la 2ème, est la seule dont le titre est écrit en toutes lettres, toutes les autres ayant un titres abrégé en « OBSERVATIO D.P.F. » En annonçant qu’il a une preuve, Fermat précise – en traduisant correctement – qu’il l’a « véritablement (ou complètement) mise au jour (ou révélée) » par une « explication surprenante (admirable, merveilleuse) ». Il existe au moins trois versions différentes de cette note, selon l’ouvrage que l’on consulte.

1). Une première version, dont le « t » a été remplacé par une tache très étudiée, a retenu l’attention de Roland Franquart, qui voulait lire ce qu’avait exactement écrit Fermat. Cette note figure par exemple à la page 99 de l’ouvrage L’ÉNIGME DE FERMAT (voir Bibliographie), ainsi que sur Internet, ici.

GROS t XXL 3 flèches.jpg

detexi, capetet, et 2 flèches.jpg

Nous remarquons, sur le mot stratégique detexi (= j’ai [entièrement] dévoilé), la lettre t outrageusement surchargée. C’est davantage une jolie tache qu’une lettre, d’ailleurs : quand on agrandit l’image, il semble que cette tache ait été soigneusement construite : si dans le texte on peut facilement la traduire par un « t », prise isolément en revanche, hors de son contexte, il est impossible de l’assimiler à quelque lettre que ce soit. Mais ici elle n’apparaît pas trop incongrue, elle ne se fait pas remarquer par un observateur non averti. Quant au point qui suit le mot, il a été lui aussi joliment surchargé : gros et bien rond à la fois, plus gros même que le point qui suit le titre. Cette lettre et ce point surchargés, situés sous les 5 caractères « eiuS – » avec un S très allongé, n’attirent pas trop l’attention. Tous ces signes étant répartis sur deux lignes successives et groupés en bout de ligne, la discrétion en est encore renforcée.  Le point surchargé a deux utilités, il suggère d’accorder de l’importance au mot crucial detexi et par sa grosseur il nous distrait un peu de notre attention sur le mot detexi. Ce pseudo « t » n’est donc qu’une tache bien faite, et il est difficile d’imaginer l’imprimeur, dans le cas où le caractère, ayant souffert d’un défaut d’impression, aurait été peu lisible, le surcharger aussi grossièrement.

2). Il existe deux autres versions, légèrement différentes, qui ne peuvent qu’alerter l’observateur cherchant des indices qu’aurait pu nous laisser Fermat. En voici une, visible par exemple dans l’ouvrage Le dernier théorème de Fermat (par Simon Singh), à la page 94 de l’édition de 1988, le texte y est parfait, seul le point après detexi restant surchargé (plus gros que le point final de la note, mais il faut être averti pour le remarquer). Voici un lien.

note normale agrandie 02 recadrée

Sans titre 8.jp2 mots sene detexi normal Recadré

Souvenons-nous que Fermat, non seulement est un mathématicien très astucieux, un sage surtout, mais que mâcher le travail de ses collègues en leur ôtant le goût de l’effort, n’est pas du tout, mais alors pas du tout dans sa manière. À la fin de cette observation n°2, sous le texte [re] ‘‘i demonstrationem mirabilem sane detexi’’, il y avait la place pour écrire l’anagramme prémonitoire ‘‘J’immortalisai (des) anxiétés de dénombrement’’ (le ‘i’ latin s’écrivait aussi ‘j’). Fermat aurait bien eu le temps pour cela mais on l’aurait encore pris pour un vantard 😉

3). J’ai eu connaissance de la bizarrerie de la première version en 2009 par M. Roland Franquart qui m’avait ainsi apporté en 2009 un premier fort argument en faveur de l’existence d’une preuve de Fermat, m’incitant à en chercher d’autres par moi-même. J’ai trouvé cette deuxième version, sans surcharge sur le t, que j’ai rendue facilement accessible sur Wikipédia en avril 2014. Étant devenu au fil des années de plus en plus familier avec la subtilité et l’imagination de ce grand pédagogue, j‘ai ensuite cherché à dénicher une troisième version, avec un detexi encore différent, sans y croire, influencé que j’étais moi aussi par la rumeur. Peut-être voulais-je conforter encore ma certitude. Je crois surtout que je cherchais un nième argument à proposer, un dernier argument qui pourrait être un “argument massue”. Le coup de massue, c’est moi qui l’ai reçu ! La découverte d’une troisième version fut une surprise totale pour moi. Complètement assommé, j’eus du mal à réaliser ce qui se passait. Voici cette édition (observez le dernier caractère du dernier mot detexi lien, page 61) :

Note i en z totale XXL 01

J’ai d’abord eu un gros souci avec ce i transformé en un s avec son point suscrit. Pendant les premiers mois qui ont suivi cette découverte j’ai été très troublé. Cette nouvelle bizarrerie, c’était “trop gros”,  peu conforme aux habitudes de Fermat, et lui trouver un sens a d’abord été difficile, eh oui ça a été comme un coup de massue : il y avait maintenant deux bizarreries dans un texte très court, sans parler de l’édition qui n’en contenait aucune. Trois bizarreries au moins, à ma connaissance. Puis avec le temps j’ai pris du recul. Les mots écrits, quand ils composent un texte chargé d’histoire, ont pour le lecteur une valeur sacrée, on a scrupule à y toucher, à tirer des conclusions qu’aucun historien, même faute d’avoir eu accès à de nouvelles informations, n’a jamais exposées. Quand par ailleurs la bizarrerie ne concerne qu’une lettre parmi deux cents, un mot parmi trente cinq (et toujours le même mot), tous très importants et en rapport direct avec un génie, on se sent bien humble. Je tentai de trouver une explication technique, aucune n’était satisfaisante. Aurais-je dû être étonné que personne n’ait encore relevé ces trois bizarreries ? Assurément non, car je connaissais bien Fermat et tout aussi bien la psychologie des mathématiciens et historiens : à la fois résignés et très sûrs d’eux,  ils n’avaient jamais pensé à aller chercher à la source les indices que Fermat aurait nous pu laisser avec cette note. N’étant pas moi-même mathématicien, et avec ce que j’avais d’abord appris de l’anomalie sur le “t”, il ne m’était resté que la solution de découvrir si Fermat, facétieux et malicieux pour la bonne cause, n’avait pas laissé ailleurs une autre bizarrerie, qui à l’époque du tout-papier n’aurait guère éveillé l’attention du mathématicien. Les mathématiciens restaient persuadés que Fermat, à la fin se sa vie, nous avait légué le principal, et la pensée unique a fait le reste. Le même mot, donc, avait été l’objet de deux grosses bizarreries distinctes, et il existait au moins trois versions différentes de la note. Ça c’était vraiment bizarre, il y avait forcément une explication, surtout qu’il s’agissait de Fermat. Le temps a passé et fait son œuvre, faire dire à ce texte autre chose que ce qu’il ne dit pas explicitement paraît osé en première approche, mais si c’est pour tenter de le rendre plus signifiant en montrant que trois anomalies peuvent se justifier quand on les regroupe avec d’autres observations (que nous exposerons plus loin), alors il n’y a plus à tergiverser. Observons d’ailleurs que Fermat ne pouvait imaginer qu’un jour, grâce à internet, on pourrait facilement avoir accès à plusieurs exemplaires de l’Arithmetica, il pouvait difficilement prévoir qu’après avoir découvert l’existence d’une première note suspecte, on pût rapidement découvrir  deux autres versions  — mais il avait certainement envisagé qu’après sa mort, un mathématicien en possession d’un exemplaire de l’édition detexṡ”, perplexe, cherche et trouve édition différente. Quoi qu’il en soit en présence de trois éditions différentes on se convainc facilement que les deux anomalies viennent d’une décision réfléchie, puis on se décide à en chercher l’explication la plus logique, quand bien même elle irait à l’encontre de la pensée unique. On observe alors que cette bizarrerie, ajoutée à bien d’autres encore, compose un ensemble de bizarreries très cohérent. En découvrant cette troisième version j’avais peut-être eu de la chance, mais surtout j’avais provoqué cette chance ; confiant, j’avais persévéré, même sans beaucoup y croire, et j’avais été confirmé une fois de plus que lorsqu’on fait confiance à Fermat, il ne se prive jamais de nous en récompenser. Dans cette version donc, toujours sur le même mot detexi, par un changement de lettre cette fois tout à fait incongru, Fermat (ou plutôt son fils, suivant les instructions de son père) remplace (demande à l’imprimeur de remplacer) le i par un s (qui tout en étant surmonté d’un point, est identique au s figurant deux lignes plus haut exactement à la verticale), insérant un nouveau mot au passage : detex.

Voyons donc ce «». Si là encore Fermat s’est adonné à une de ces subtilités qui sont sa marque de fabrique, on peut décomposer ce caractère  en «i» + «.

21 janvier 2019. Jusqu’à ce jour, j’avais interprété cette deuxième étrangeté  ainsi : le mot latin “is” en latin lui, ou celui-ci > ce mot : detexi, peut suggérer que l’on doit porter une attention toute particulière à ce mot, signifiant « j’ai mis à jour ». La « chance » ou le « hasard » (s’il y en a un), a voulu qu’en me promenant sur le web, j’entre en contact sur Wikiversité avec une personne (Jean-Paul BLANC-PORTALIS) qui m’envoie ce courriel :

« Une intuition : je me demande si le mot « detexi » sur lequel tu insistes, et particulièrement sous la forme detexis, ne serait pas une subtile dissimulation de d(existe). La traduction prendrait alors un sens particulier ? »

Je n’avais pas cherché un mot français, en outre avec cette idée on fait appel à la langue française, et Fermat est un Français qui s’adresse avant tout à ses compatriotes. Ce mot detexis est aussi l’anagramme d existe. On pouvait donc interpréter ainsi : « ma découverte, existe réellement ».

Deux semaines plus tard : Non. Il faut utiliser le sens du mot latin detexis, qui est une forme conjuguée de verbe « tisser complètement » (tisse complètement !), ce qui nous donne l’occasion de revenir au tout début des découvertes de M. Franquart. En décryptant la note il avait découvert que l’on pouvait la traduire de deux façons différentes, selon que Fermat s’adresse à monsieur tout-le-monde ou à un chercheur très consciencieux. Voici la version plus élaborée après son décryptage :

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré & en général dans l’infinité, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai entièrement tissé l’explication surprenante. Le manque de la bordure (de la limite, de la marge)  ne contiendrait pas une telle explication. »

Pour nous divertir un moment, que se serait-il passé si tous les exemplaires de ce Diophante avaient été concernés par les deux bizarreries réunies ? Je me suis amusé à faire un collage, voici à quoi ressemblerait une telle édition :

detexzzz avec gros t .  Ceci est un montage !

Profitons de ce collage pour évaluer la portée de chacune des deux transformations, dans le cas où un lecteur n’aurait eu accès qu’à une seule d’entre elles et en aurait été plus ou moins surpris.

1) Le dernier caractère, le . C’est le plus incongru, le plus surprenant, le plus parlant quand on fait confiance à Fermat.

2) Le t exagérément surchargé. Un mathématicien non latiniste ne se serait pas attardé à une tache qui dans le contexte pouvait être assimilée à un ‘t’.

3) Imaginons maintenant que a) le lecteur soit à la fois mathématicien et latiniste, b) qu’il ait accès à ces deux transformations. La première, , incongrue, perd toute son étrangeté quand on l’associe à la deuxième, les deux transformations se potentialisent mutuellement comme on le verra plus loin (ce qu’on a devant les yeux après plus de trois siècles de polémiques, je me demande si c’est facile à accepter… mais à dire vrai les savants ne veulent pas en entendre parler, on se demande pourquoi -; Nous savons que l’Arithmetica est très fautive, mais quand bien même un lecteur n’ayant pas étudié consciencieusement le travail de Fermat et surtout l’homme, pourrait croire que ses 48 observations, dont certaines sont très longues, aient pu être écrites dans la marge (voir plus loin), il est certain que puisqu’elles étaient importantes à ses yeux elles ont été transcrites avec le plus grand soin, d’où il résulte que les deux versions transformées ont été un acte volontaire. Je ne sais s’il existe encore d’autres anomalies, toujours sur ce mot detexi, seules quelques versions sont disponibles sur le web. Sur les dates auxquelles été écrites ces observations, je crois qu’on ne peut en dire grand-chose. Nombreux sont les commentateurs qui pensent qu’elles ont été écrites avant 1640, on peut aussi pencher pour une date se situant après sa dernière tentative de publication en 1659, soit quelques années avant sa mort. Quoi qu’il en soit cette preuve peut fort bien avoir un rapport avec le triangle dit “de Pascal”, et dans ce cas encore, au moins pour cette observation n°2, toute date est envisageable. Fermat en effet a pu avoir connaissance de ce fameux triangle grâce aux travaux (qu’il connaissait) de François Viète, mort cinq ans avant sa naissance (ce triangle était déjà connu au XIsiècle du mathématicien persan Al-Karaji, et de bien d’autres à sa suite, jusqu’à Tartaglia, Viète…).  Si donc Fermat s’est intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons qu’il a travaillé sur les carrés magiques, et jouer avec cet objet philosophique que sont les nombres, étudier toutes les relations qu’ils peuvent avoir entre eux, était comme un trésor à tenter de mettre au jour, un trésor de méditations jamais épuisé), il paraît logique qu’il n’ait jamais souhité y faire allusion (jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle) s’il s’en est servi pour démontrer son théorème. Nous pensons que c’est la meilleure voie à explorer. Gardons-nous en tout cas de sous-estimer Fermat, de minimiser son intuition et le discernement dont il a toujours fait preuve. Nous exposerons bientôt d’autres arguments en faveur d’une preuve chez Fermat. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard (et il en a joué) avec ses façons peu orthodoxes, provocantes, afin de stimuler ses correspondants. Il s’adressait, dans cette note en particulier, à la fois aux sceptiques (« il ne fait que se regarder lui-même »), et à ceux qui lui feraient confiance. N’avoir évoqué ce théorème que dans cette note et nulle part ailleurs peut paraître étonnant, à moins d’admettre qu’il ne voulait rien dire, de son vivant, d’un théorème qu’il jugeait difficile à prouver. En 1659 il fit demander à Huygens de publier  sa « Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres ». Bien qu’elle fût assez détaillée, elle ne l’était peut-être pas suffisamment pour être publiable et Huygens n’entreprit pas de la développer davantage. Fermat ne put donc jamais faire publier un seul de ses travaux sur la théorie des nombres. Bien que la célébrité lui était indifférente, s’il avait disposé de beaucoup plus de temps et que sa profession n’eût pas exigé une certaine discrétion, peut-être aurait-il explicité ses démonstrations et trouvé assez facilement un éditeur ? Mais sa profession et sa recherche passionnée de nouvelles découvertes primaient. Il avait été échaudé par les moqueries de certains correspondants, déçu aussi par leur manque d’empressement à le suivre dans ses recherches. Ne pas dévoiler sa preuve, grâce au débat qui ne manquerait pas de s’ensuivre, contribuerait à mettre en avant ses travaux, et à faire progresser cette science des nombres. Isavait que les mathématiciens qui viendraient tout de suite après lui ne le suivraient pas dans les voies très ardues qu’il était seul à maîtriser (dans sa lettre testament à Carcavi en 1659, il ne fait là encore aucune mention de son théorème). Ayant conscience de la difficulté que ses futurs détracteurs auraient à retrouver sa démonstration, il savait qu’il les prendrait à leur propre piège de négligence bien-pensante. De son vivant il testait chacun de ses correspondants avant de choisir le défi qu’il allait lui proposer, et de quelle manière il allait le faire, il avait appris leurs limites, leur impuissance à le suivre dans ses recherches. Il écrivait beaucoup pour la postérité : ne faire de son vivant aucune mention de la démonstration du plus difficile de ses théorèmes, le faire connaître seulement après sa mort et ainsi entrer dans l’Histoire, outre le plaisir malicieux cela pouvait lui procurer, était aussi pour lui le meilleur moyen de faire progresser cette science. Son arithmétique n’intéressant plus personne, il pouvait penser que ce théorème avait de beaux jours devant lui. Outre une petite revanche sur ses détracteurs de l’époque, ça allait être un joli pied de nez à ses non-suiveurs. Fermat aura donc peut-être réussi le coup du millénaire, même si on a prétendu, avec la preuve très moderne découverte par Wiles en 1994, que ça y est, enfin, la vraie preuve on la tient ! Ah, que ce théorème aura fait parler de lui. Je souris, et sûrement ce facétieux génie sourirait aussi s’il pouvait être témoin de la fabuleuse épopée de son théorème.

III. Intermède grothendieckien

« Plutôt que de me laisser distraire par les consensus qui faisaient loi autour de moi, sur ce qui est « sérieux » et ce qui ne l’est pas, j’ai fait confiance simplement, comme par le passé, à l’humble voix des choses, et à cela en moi qui sait écouter.

Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner.

Ce pouvoir-là n’est nullement le privilège de « dons » extraordinaires – d’une puissance cérébrale (disons) hors du commun pour assimiler et pour manier, avec dextérité et avec aisance, une masse impressionnante de faits, d’idées et de techniques connus. De tels dons sont certes précieux, dignes d’envie sûrement pour celui qui (comme moi) n’a pas été comblé ainsi à sa naissance, « au delà de toute mesure ».

Ce ne sont pas ces dons-là, pourtant, ni l’ambition même la plus ardente, servie par une volonté sans failles, qui font franchir ces « cercles invisibles et impérieux » qui enferment notre Univers. Seule l’innocence les franchit, sans le savoir ni s’en soucier, en les instants où nous nous retrouvons seul à l’écoute des choses, intensément absorbé dans un jeu d’enfant…

[…] La découverte est le privilège de l’enfant. C’est du petit enfant que je veux parler, l’enfant qui n’a pas peur encore de se tromper, d’avoir l’air idiot, de ne pas faire sérieux, de ne pas faire comme tout le monde. Il n’a pas peur non plus que les choses qu’il regarde aient le mauvais goût d’être différentes de ce qu’il attend d’elles, de ce qu’elles devraient être, ou plutôt : de ce qu’il est bien entendu qu’elles sont. Il ignore les consensus muets et sans failles qui font partie de l’air que nous respirons – celui de tous les gens censés et bien connus comme tels. Dieu sait s’il y en a eu, des gens censés et bien connus comme tels, depuis la nuit des âges !

Nos esprits sont saturés d’un « savoir » hétéroclite, enchevêtrement de peurs et de paresses, de fringales et d’interdits ; d’informations à tout venant et d’explications pousse-bouton – espace clos où viennent s’entasser informations, fringales et peurs sans que jamais ne s’y engouffre le vent du large. Exception faite d’un savoir-faire de routine, il semblerait que le rôle principal de ce « savoir » est d’évacuer une perception vivante, une prise de connaissance des choses de ce monde. Son effet est surtout celui d’une inertie immense, d’un poids souvent écrasant.

Le petit enfant découvre le monde comme il respire – le flux et le reflux de sa respiration lui font accueillir le monde en son être délicat, et le font se projeter dans le monde qui l’accueille. L’adulte aussi découvre, en ces rares instants où il a oublié ses peurs et son savoir, quand il regarde les choses ou lui-même avec des yeux grands ouverts, avides de connaître, des yeux neufs – des yeux d’enfant.

Il arrive que l’un ou l’autre de nous découvre telle chose, ou telle autre. Parfois il redécouvre alors dans sa propre vie, avec émerveillement, ce que c’est que découvrir. Chacun a en lui tout ce qu’il faut pour découvrir tout ce qui l’attire dans ce vaste monde, y compris cette capacité merveilleuse qui est en lui – la chose la plus simple, la plus évidente du monde ! (Une chose pourtant que beaucoup ont oubliée, comme nous avons oublié de chanter, ou de respirer comme un enfant respire…). Chacun peut redécouvrir ce que c’est que découverte et création, et personne ne peut l’inventer. Ils ont été là avant nous, et sont ce qu’ils sont. […] » Alexandre Grothendieck, RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien. (Les récoltes se font pourtant après les semailles. Le peintre Pierre Soulages écrit quant à lui : “C’EST CE QUE JE TROUVE QUI M’APPORTE CE QUE JE CHERCHE”).

A.G. dans son ouvrage La Clef des songes, p.24 : « L’apparition soudaine d’un tel sentiment [d’évidence] n’est d’ailleurs pas chose spéciale à la compréhension du grand rêve. Celui-ci représente simplement un des cas où elle est la plus flagrante. Je crois même qu’elle est plus ou moins commune à tout travail de découverte, aux moments où celui-ci soudain débouche sur une compréhension nouvelle, grande ou petite. J’en ai fait l’expérience encore et encore tout au long de ma vie de mathématicien. Et ce sont les choses les plus cruciales, les plus fondamentales, au moment où elles sont enfin saisies, qui sont celles qui frappent le plus par leur caractère d’évidence ; celles dont on se dit après coup qu’elles “crevaient les yeux” – au point qu’on se trouve stupéfait que soi-même ni personne n’y ait songé avant et depuis longtemps. Ce même étonnement, je l’ai rencontré à nouveau, et tout autant, dans le travail de méditation – ce travail à la découverte de soi-même qui est venu, peu à peu, à se confondre quasiment avec le travail sur mes rêves.

Les gens ont tendance à ne pas y faire attention, à ce sentiment d’évidence qui accompagne si souvent l’acte de création et l’apparition de ce qui est nouveau. Souvent même on refoule la connaissance de ce qui peut sembler, en termes des idées reçues, un étrange paradoxe. »

IV. La question qui tue

Personne ne s’est étonné que l’exemplaire de l’Arithmetica sur lequel a travaillé Fermat, exemplaire qui avait donc une grande valeur historique – valeur que Samuel ne pouvait ignorer – et on se demande quelle somme faramineuse aurait pu atteindre cet objet unique. Cette disparition est véritablement très étonnante, à part pour les historiens qui ont douté des capacités de Fermat et n’ont jamais réfléchi consciencieusement et sans préjugé aux tenants et aboutissants de l’énigme du grand théorème. Pourquoi, donc, cet objet historique n’a-t-il jamais été retrouvé ? La meilleure explication, peut-être la seule, que l’on puisse donner est que son fils l’a détruit. Aucune raison valable a priori à cette destruction, sauf à se dire que l’exemplaire de 1670 ne transcrivait pas en tous points celui sur lequel a travaillé Fermat et qu’il aurait annoté.

V. Les 48 observations ont-elles été écrites “dans la marge” ?

J’ai pris cette question beaucoup plus au sérieux que je ne l’avais fait jusqu’alors, lorsque j’ai lu dans l’ouvrage Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal » que Laurent Hua et Jean Rousseau, observant la longueur de la moitié des 48 observations de Fermat,  y répondent par la négative. Voyons donc si c’est vraiment dans la marge que Fermat a écrit toutes ces observations (serait-ce ailleurs, sur des feuilles volantes ou dans un livret, avec des instructions détaillées à l’adresse de son fils, pour les trois ‘’detexi’’ différents par exemple, instructions qui pouvaient être accompagnées d’autres recommandations). Samuel écrit dans la préface de l’édition de 1670 : Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros. En français : « Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. » Au premier abord la précision : “surtout dans les quatre derniers livres” paraît justifiée puisque ce sont  dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Pourtant certaines d’entre elles sont très longues (par exemple les obs. N° 6, 7, 8, 9, 11, 15…) et on se demande comment elles auraient pu tenir dans une marge. À l’inverse, les 3 premières observations (dans les Livres I et II) sont très courtes et pouvaient y tenir facilement. Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel en écrivant : « […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. » Quant à la précision : comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés’’, elle ne nous apprend rien, c’est ce que Fermat lui-même disait.

Deux hypothèses émergent :

– Soit les 48 observations n’ont pas été écrites dans l’exemplaire de Fermat,

– soit une partie au moins y auraient figuré (et déjà les plus courtes) alors que l’observation N°2 ainsi que les notes confidentielles pour son fils aîné, expliquant de quelle façon elle devait être rapportée, étaient écrites ailleurs.

Tout laisse supposer que Samuel n’a pas pris seul, sans les recommandations paternelles, l’initiative de faire publier une nouvelle édition de l’Arithmetica, augmentée des observations de son père. Acceptons quant à nous que Fermat n’a cessé de jouer avec nous, avec nos nerfs, faisant preuve encore une fois de cet esprit facétieux qui pourrait nous paraître cruel, à moins que l’on n’admette une fois pour toutes que, lorsqu’il a voulu encourager ses suiveurs, on n’a jamais pu le prendre en flagrant délit de mesquinerie, prêt qu’il est à user sans modération des astuces les plus subtiles. Si nous passions outre ces prouesses, si nous sous-estimions sa sagacité, il pourrait sembler étonnant que son Diophante n’ait jamais été retrouvé. Si nous les acceptons, nous comprenons que Samuel ait été dans l’obligation de le détruire. Pierre et Samuel, voila un bien noble binôme, qui a bien mérité sa particule : Pierre, homme de cœur, indépendant, intègre, audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt très occupé à ses recherches personnelles. Samuel, humaniste, altruiste lui aussi et passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en quelque sorte, digne héritier de son père. Examinons un autre point, nous avons vu que la traduction exacte de l’affirmation de Fermat qui a fait très polémique (mais dans d’autres traductions, toutes erronées) est : « J’en ai véritablement mis au jour l’explication surprenante. La petitesse de la marge ne la contiendrait pas. » […]. » Si ses 48 annotations avait été « réservées à son seul usage » (comme l’ont prétendu Jean Itard et bien d’autres), Fermat aurait-il eu besoin d’ajouter le mot “véritablement” ? Chère lectrice, cher lecteur, commencez-vous à nous suivre un peu ? Si c’était le cas il se peut que vous ne soyez pas déçu de votre petit voyage en terra incognita.

VI. Fermat pensait-il vraiment que sa conjecture sur les nombres de la forme 22n + 1 était vraie ?

Je suis conscient que ce qui suit va à rebrousse-poil des sentiers battus, et je vous avoue tout net que moi-même, pendant longtemps (5 ans presque exactement), je n’ai pas été complètement certain de cette théorie. D’une heure à l’autre elle pouvait parfois se conforter considérablement, comme elle pouvait tout aussi bien se réduire presque à néant (je ne doute pas que cela puisse aussi vous arriver 😉 ). De cela je n’étais pas étonné, parce que j’étais moi aussi très influencé par tout ce qui s’est dit de négatif au sujet de Fermat – dit, et surtout répété depuis des siècles, avec des raccourcis de raisonnement parfois saisissants, des analyses orientées qui s’ajoutaient les unes les autres en devenant de plus en plus partiales. Vous avouerai-je que face à autant d’avis négatifs venus des savants au long des siècles, il arrive encore parfois, au sujet des polémiques autour de Fermat, que des doutes m’assaillent à nouveau (et c’est heureux puisque je n’ai pas la preuve qu’il ait eu une démonstration). Je ne balaie pas ces doutes d’un revers de main mais les soumets à une analyse critique. Cette démarche m’a souvent permis de conforter certains arguments et surtout d’en découvrir de nouveaux. Il ne faudrait pas trop s’étonner, ni même s’accabler d’être parfois si peu sûr de soi. Il serait au contraire fâcheux d’être irraisonnablement obstiné jusqu’à utiliser de mauvais arguments. On sait que la puissance d’un préjugé, quand il est très partagé, par des savants de surcroît, est pratiquement indépassable. Dans tous les domaines, et chez nous tous, la problématique de la croyance est éminemment complexe. On aime croire ce qui nous est agréable, il nous arrive de modifier, parfois même de changer radicalement certaines de nos croyances, mais beaucoup d’entre elles ne nous quitteront pas de toute notre vie. Certaines heureusement seront bonnes, mais qui peut dire en ce bas monde qu’il détient la vérité ? Citons Claudine Tiercelin : « […] pour mesurer à quel point il est difficile de se débarrasser de nos croyances, et pourquoi on a tant de mal, même si on réalise que nos croyances sont fausses, même si on se rend compte que nos croyances sont éventuellement des préjugés, à cesser de croire ce qu’on croit. Parce qu’on a besoin de croyances pour agir. » Examinons sereinement les choses. Certains commentateurs parmi les plus sceptiques, philosophes, historiens et même mathématiciens, qui pour des raisons diverses, veulent croire et nous faire croire que Fermat ne pouvait avoir une preuve de son théorème, ont prétendu que lorsqu’il écrit à propos de cette question des nombres de Fermat : « J’ay ensuite considéré certaines questions », il prétend avoir démontré la dernière question. On devrait donc lire : « J’ai démontré (toutes) ces propositions. » En 1977, l’Américain Harold Edwards par exemple écrit : « Il [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers » – ce qui est loin d’être évident pour Eric Temple Bell qui lui en fait la remarque, mais Edwards poursuit : « Je ne vois pas d’autre interprétation de cette lettre à Carcavi. » Tout va bien, les savants les plus sceptiques sont de plus en plus rassurés, Fermat n’est pas fiable, et il n’a jamais démontré son grand théorème comme il le prétend, d’ailleurs ça se saurait, il y aurait au moins une trace quelque part et on a cherché partout.  Voyons ce qu’il écrit à propos de ces nombres de la forme 22n + 1 en prêtant attention aux lignes que nous mettons ici en italiques, qui peuvent être interprétées comme des mises en appétit, des provocations, à la fois défis et encouragements à le suivre dans ses travaux :

1) août (?) 1640 à Frénicle : « Mais voici ce que j’admire le plus : c’est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l’unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurois peine à me dédire. » Lettre XLIII.

2) 25 décembre 1640 à Mersenne : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. »

3) 29 août 1654 à Pascal : « Au reste, il n’est rien à l’avenir que je ne vous communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition.
Les puissances carrées de 2, augmentées de l’unité, sont toujours des nombres premiers.
Le carré de 2, augmenté de l’unité, fait 5, qui est nombre premier.
Le carré du carré fait 16 qui, augmenté de l’unité, fait 17, nombre premier.
Le carré de 16 fait 256 qui, augmenté de l’unité, fait 257, nombre premier.
Le carré de 256 fait 65.536 qui, augmenté de l’unité, fait 65.537, nombre premier. Et ainsi à l’infini.
C’est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée, et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout.
Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. Je suis, [etc.]»

4) 16 juin 1658, à John Wallis par Digby : « quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration (…) Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie », lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.

  • Examinons maintenant sa dernière lettre traitant du sujet (1659) à Carcavi et à Huygens :

« J’ay ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :
– Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube. Ledit quarré est 25.
– Il n’y a que deux quarrez en entiers lesquels augmentés de 4 fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers. [Vide Commerc. Epistolicu Wallisii pag. 186 (…)]. Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre. »

Cette question, on le sait, ne se vérifie pas dès 4 294 967 297 (F5). Peut-on réellement croire que Fermat, qui en essayant les nombres premiers de la forme 74k+1 trouve que 237-1 est divisible par 223, n’aurait pas vu par la même méthode que Fest divisible par (64×10) +1, soit 641, donc qu’il n’est pas premier ? Non évidemment. Certains, en prenant soin de ne faire aucune allusion directe à ces 4 divisions, ont pu dire qu’il se serait trompé dans ses calculs : il ignorait donc qu’on vérifiait le résultat d’une division en multipliant le quotient par le diviseur….. Que Fermat, maître dans la science des nombres, ait pu mentionner à qui voulait bien l’entendre (Frénicle, Mersenne, Pascal, Wallis, Digby, Carcavi et Huygens), sur une période de 19 ans (!), entre 1640 et 1659, qu’il est quasiment certain d’une proposition dont pourtant il peut démontrer la fausseté en quelques minutes, est une nouvelle fois bien étrange. Le plus intéressant avec cette dernière question, dont Fermat a toujours dit qu’il n’en avait pas la démonstration, est qu’elle ne figure pas parmi les 48 observations de l’Arithmetica. Or, tous les autres théorèmes que Fermat a prétendu avoir démontrés se sont révélés exacts. Notons aussi que l’un des seuls résultats dont il nous ait laissé une démonstration est le théorème sur les triangles rectangles « L’aire d’un triangle en nombres ne peut être un carré. » À la fin de sa vie, les jeunes mathématiciens avec lesquels il aurait pu correspondre n’avaient que faire de son arithmétique. Je suis certain que « le problème avec le théorème », c’est que Fermat ne faisait confiance qu’à ceux qui eux-mêmes lui feraient confiance, qui chercheraient à le connaître et, le connaissant, s’enhardiraient à dénicher des indices en faveur de l’existence de sa preuve. Quand il envoya à Roberval quelques propositions très ardues, Roberval lui en demanda les démonstrations, ce à quoi Fermat répondit : « J’ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. » (Lettre de Roberval à Torricelli, 1646-47?)Si comme nous le supposons, Fermat sait pertinemment que cette conjecture, très importante à ses yeux, est fausse, il se pourrait bien que dès la première de ces lettres, et jusqu’à la cinquième, il utilise à nouveau sa méthode du défi (bien qu’ici sous une forme nouvelle). Et si l’un de ses correspondants avait pu alors démontrer (une première pour eux) qu’elle était fausse, cela aurait sans doute créé une forte émulation chez quelques autres, qui à leur tour auraient tenté, avec plus de persévérance qu’ils ne l’ont fait jusqu’alors, de tenter de relever d’autres ses plus grands défis, ce qui a toujours été son objectif avoué. Par ailleurs je suis quasi persuadé qu’il a volontairement choisi cette dernière question pour l’adjoindre aux trois précédentes de façon à regrouper quatre questions négatives, ce qui lui permet une nouvelle fois de jouer sur les mots. Il écrit tout à la fin : « bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre. »  On peut encore voir là un indice et interpréter ainsi : cette dernière proposition est négative, mais aussi dans le sens non valable, fausse. Les mots alléchants « d’une très subtile et très ingénieuse recherche », sont destinés à aiguillonner un peu plus les savants, comme on peut le deviner à la fin de cette longue lettre, « en tout cas, cette indication [du compte de mes rêveries] servira aux savans pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point. » (NDR : « ce que je ne développe point »). Dans les lettres suivantes Fermat ne se préoccupera pratiquement plus des nombres. Cette lettre pose donc une autre question, car maintenant qu’il est presque assuré qu’aucun de ses contemporains ne pourra résoudre cette dernière question, il la formule d’une façon fort ambigüe. À première vue on ne peut savoir avec certitude s’il a seulement « considéré ces questions » ou s’il prétend en avoir la démonstration pour chacune, jusqu’à la dernière. Notre opinion étant qu’il savait cette dernière proposition invalide, il se pourrait bien qu’il ait eu plusieurs objectifs :

  • D’abord laisser penser aux plus sceptiques qui ne voudraient pas (ou ne pourraient pas) le suivre qu’il s’était trompé (et tant pis pour eux), et augmenter encore davantage leur trouble quant à son affirmation sur son Grand Théorème prétendument démontré. C’était un Gascon, donc un matamore ? Soit ! Ils ne chercheront pas comme lui, avec beaucoup de discernement, sa preuve, ils ne la trouveront donc pas de si tôt et languiront très longtemps (et tant pis pour eux). Incidemment (ou pas), cette façon de faire aura un autre avantage intéressant pour lui, celui de se divertir (enfin !), en se payant la tête à son tour de ses moqueurs et peut-être un jour, en les tournant en ridicule, si l’on trouvait une démonstration  beaucoup plus accessible de son Grand Théorème.
  • Semer le doute chez beaucoup, et les laisser dans l’incertitude.
  • Faire s’interroger les plus curieux de ses lecteurs : pourquoi affirmer une chose quand on peut prouver qu’elle est fausse ?  Pour les sidérer ? Les émerveiller même, et ainsi les stimuler pour qu’ils cherchent ce qu’il peut y avoir de plus sublime, dans ce qu’il a bien voulu nous laisser de ses travaux ? Alors, qu’ils s’interrogent : Fermat utiliserait-t-il autre part que pour ces nombres de la forme 22n + 1, de subtils moyens pour nous mettre sur la voie de ses découvertes ? Dans la note N°2 peut-être ? Si l’on s’est déjà s’interrogé sur la présence des deux bizarreries, alors on sera encore plus enclin à les étudier avec soin.

Énoncer en toute connaissance de cause, comme nous le croyons, cette fausse proposition, sera donc pour Fermat avantageuse à tous points de vue. Le lecteur curieux pourrait lui-même chercher d’autres avantages à cette affirmation. Nous pensons maintenant être au fait des méthodes adoptées par Fermat pour encourager d’éventuels suiveurs, il  livre des indices de-ci de-là, laisse le temps faire son œuvre et travailler pour lui (il n’a plus le choix d’ailleurs, il est lâché de tous côtés). Le destin décidera lui-même de l’avenir du théorème. À partir de là, plusieurs possibilités s’offriront à cette énigme :

– Si des mathématiciens motivés s’avisaient un jour qu’il y a quelque chose de bizarre avec ce detexi (« j’ai entièrement dévoilé ») avec une tache à la place du « t » et avec un autre detexi transformé en « detexs » (le « s » surmonté d’un point), eh bien on pourrait alors essayer de comprendre ce que cela peut bien vouloir signifier. L’usage du latin, chez Fermat en particulier, a l’énorme avantage d’éveiller la curiosité du lecteur, c’est la meilleure façon de le stimuler, de le mettre face à un cryptage qui défie son intelligence, il l’utilise « comme une machine à encoder et à décoder » (Ludivine Goupillaud). Il est friand et coutumier du moins-disant nécessaire et si nous tenons compte de cela il nous faut étudier sans complexe tout ce qu’il écrit, même “entre les lignes”. Si nous admettons qu’il ait voulu nous mettre sur la voie, alors il se pourrait bien que la stratégie du défi qui lui est si chère atteint là son acmé. Un autre aspect remarquable de l’étrangeté de cette note, utilisé d’ailleurs par les détracteurs de Fermat, est que nulle part ailleurs que sur cette observation N°2 (tiens, « 2 » comme l’exposant 2, amusant), Fermat ne fait d’allusion au théorème général. Lorsqu’il évoque pour la première fois en 1640 les exposants 3 et 4, déjà est sous-jacent le théorème, pourtant, au cours des 19 années qui suivent (jusqu’en 1659) où il continuera de se passionner pour les mystères des nombres, et même jusqu’à sa mort en 1665, l’existence – ou la non-existence – d’un théorème général ne sera jamais évoquée, ce qui serait difficilement admissible si nous n’avions fait état des arguments précédents. Réserve-t-il ce théorème pour une remarque au Diophante, et pour lequel son fils devra trouver un éditeur ? C’est à mon sens la meilleure explication.

– Si aucun mathématicien ne veut s’interroger sur la cause de ces bizarreries,  et sur bien d’autres choses encore (« même si Fermat était un génie facétieux, je sais que c’était aussi un magistrat intègre, sérieux, respectable et respecté, je suis bien certain que cet honnête homme ne se serait jamais abaissé à se fiche ainsi de moi ! Pour quelle raison, d’ailleurs, l’aurait-il fait ? »), eh bien tant pis, « on continuera comme avant. »

–  Si un mathématicien s’avisait un jour qu’il y a beaucoup de choses étranges sur le legs de Fermat mais qu’il ne parvient pas à faire apparaître une démonstration (qui risque d’être complexe) à l’aide des outils arithmétiques fondamentaux, eh bien tant pis, « on continuera comme avant. »

Il est possible que des mathématiciens qui liraient ces remarques les trouvent infondées. Il peuvent aussi estimer que les arguments parfois très étranges avancés pendant des siècles pour décrédibiliser Fermat sont eux très fondés, juger aussi que les bizarreries présentes sur la note du plus célèbre théorème de Fermat, le théorème qui a fait couler le plus d’encre au monde (beaucoup plus que pour la tache simulant le t de detexi !) sont tout à fait admissibles et pertinentes, chacun en effet voit midi à sa porte, porte que Pierre fermat mais pas complètement, nous laissant deux petites clefs à peine cachées dans deux des trois entrées de son dernier refuge.

Vers 1800 on pouvait prouver le théorème pour les valeurs de n égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat qui reste à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, de développer la théorie des nombres complexes idéaux (théorie qui allait devenir un outil très important de l’algèbre). Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100, tout en continuant d’affirmer que ce problème n’était qu’une curiosité. C’est une nouvelle grande avancée qui, même partielle et très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Mais le pli est pris puisqu’on abandonne définitivement la pure recherche élémentaire pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour la nouvelle mathématique. Désormais on va plutôt se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, dont on voit qu’ils vont nous aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes, comme celle de Fermat, même, et bien d’autres. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique élémentaire, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout on doute encore plus que Fermat aurait pu démontrer son théorème.

Ainsi, depuis 1670, au fil des années, puis des siècles, tout un empilage de mauvais arguments s’est progressivement érigé, arguments qui s’additionnaient les uns aux autres pour se fortifier mutuellement,  et tenter ainsi de prouver que Fermat n’a jamais eu la preuve de ce qu’il avançait. Ses autres théorèmes ont résisté beaucoup moins longtemps et donc reçu meilleur accueil. Une telle somme de tentatives faites pour discréditer un théorème qui semblait trop inaccessible – voire même impossible à démontrer – procède-t-elle d’une quelconque logique ? Puisqu’on ne parvient pas à trouver la preuve arithmétique de Fermat, il faut imaginer des non preuves à sa preuve ! « Ainsi, des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. » (Libri, XIXe siècle). Nous non plus ne suivrons pas les péremptoires contempteurs qui « pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements », les laissant à leurs certitudes et à leur logique incertaine. Revenons à notre étude : avec la dernière proposition plusieurs fois suggérée, Fermat adopte la posture de celui qui réclame de l’aide à tous. C’est en opposition avec l’habitude de l’époque, et encore bien plus chez lui ! Il soumet même cette proposition à Pascal (1654), qui a pourtant abandonné l’arithmétique depuis longtemps pour se consacrer à la théologie. Fermat, ayant jaugé les plus grands mathématiciens de l’époque, peut douter qu’ils puissent facilement parvenir à leur fins. Mais l’essentiel pour Fermat n’est pas là, l’étude de la science des nombres n’a pas de limites, il veut « faire passer dans l’esprit de ceux qui viendraient après [lui] la Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres pour traditio lampadis ad filios » (pour transmettre le flambeau aux enfants, aux successeurs) (lettre à Carcavi et à Huygens de 1659). Ne nous fait-il pas là aussi, mais dans une lettre cette fois – une lettre testament –, un nouveau clin d’œil ?

VII. Le latin, « marqueur du sublime par excellence » dans les mathématiques

Avec l’autorisation des Éditions DROZ, et de deux des auteurs, Ludivine Goupillaud et Emmanuel Bury, que je remercie chaleureusement ici, voici quelques citations, extraites  de l’ouvrage  Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIsiècles), Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E.N.S. Ulm [compte-rendu] (2006).

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. Cela dit, le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon L. Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. […] Oublier le latin aujourd’hui, c’est donc prendre le risque de fausser les perspectives et d’être frappé d’une amnésie partielle de ce qui a constitué et qui constitue encore le patrimoine de notre culture européenne. » Emmanuel Bury

Pour Ludivine Goupillaud, Fermat s’attribuait un rôle d’« éclaireur », « ouvrant la piste à ceux qui auront le courage de le suivre. » Elle emploie à son sujet les expressions : « course folle », « boulimie d’expérience nouvelles », « état proche de la transe et de l’enthousiasme (au sens étymologique du terme : du grec ‘enthousia’, inspiration divine, et ‘théos’, dieu)  », « admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques ». Elle cite aussi l’auteur (inconnu) du Traité du Sublime  : « La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Elle cite aussi Fermat : « Je ne puis donner ici la démonstration, qui découle des mystères multiples, variés et impénétrables, de la science des nombres ; j’ai décidé de consacrer un livre entier à ce sujet et de repousser d’une façon étonnante les bornes de cette branche de l’arithmétique, au-delà des limites anciennement connues. » (Observation XVIII sur son Diophante). Les interprétations que l’on peut faire de ce que nous a livré Fermat en arithmétique, jusque dans ses correspondances, dépendent  du regard, confiant ou sceptique, que l’on y porte. Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, C. Goldstein, donne un joli exemple (p.87) « qui illustre élégamment l’efficacité et la sobriété légendaire de Fermat ». Fermat avait heureusement à sa disposition le latin, langue des savants et des lettrés dans laquelle il excellait, et qui convenait parfaitement à son désir de condenser ses énoncés utilisant parfois l’ellipse pour ne pas s’embarrasser de périphrases alourdissant des formulations alors rendues absconses. Et puisqu’il manquait cruellement de temps cette méthode lui convenait d’autant plus. Il écrivait à Mersenne : « J’ay si peu de commodité d’écrire mes démonstrations… que je me contente d’avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver lorsque j’auray le loisir de le faire. » Comprenons que c’est surtout le peu de loisir dont il disposait qui l’empêchait de développer complètement, dans tous leurs détails, des démonstrations souvent très complexes : un esprit si rigoureux et minutieux n’aurait pu se satisfaire de démonstrations plus développées mais pas totalement, qui n’auraient donc pas été parfaites. Libri écrivait à propos de Fermat : « Satisfait de vaincre les plus grandes difficultés, il communiquait ses découvertes à ses amis, à des géomètres tels que Pascal, Descartes, Roberval, Frenicle, Wallis, Torricelli, Huygens, et souvent il ne gardait pas même copie des démonstrations qu’il leur adressait. C’était surtout par l’entremise du père Mersenne, dont la correspondance était si étendue, que se faisaient ces communications. » Fermat  préférait utiliser son temps libre (c’était un magistrat consciencieux) à faire progresser ses travaux personnels par des échanges avec ses correspondants, échanges qui avaient l’avantage de stimuler les deux parties. Les historiens qui se sont penché sur ses travaux et l’ont souvent dénigré n’ont pas suffisamment pris en compte cet aspect psychologique, négligeant trop ce qu’autorisait la stratégie du défi : ne livrer des indices qu’au compte gouttes, et parfois uniquement quand les discussions stagnaient trop longtemps. Reconnaissons en outre que si Fermat avait tout révélé de ses découvertes, nos mathématiques actuelles n’en seraient pas à ce niveau (tous les travaux que son théorème, surtout, a déclenchés). C’était non seulement un professionnel dans son domaine, mais aussi un pionnier, un visionnaire. La touche finale, la french touch – ou plutôt la touche latine –, a été cette observation énigmatique que nous a livrée son fils Samuel : à sa mort, il ne mettait pas un terme à son travail de pédagogue (le génie de Fermat il est là aussi), il mettait un point d’orgue à la démarche qui lui avait si bien réussi de son vivant, sans trop se fatiguer et en livrant le plus gros de ses défis par un sublime pied de nez à tous ses détracteurs, avant de goûter un repos bien mérité. À notre époque il aurait été un professeur de mathématiques remarquable, suscitant chez ses élèves, par les questions les mieux choisies, le goût de faire eux-mêmes des découvertes. Qu’aurait apporté aussi  à cet homme remarquable d’exposer noir sur blanc, de son vivant,  quelques pages qui auraient risqué de le sortir l’ombre malgré les jeunes savants progressistes qui arrivaient et qui n’avaient que faire de ses travaux datés ? Sortir de l’ombre, le souhaitait-il, lui si attaché à la tranquillité dans son travail assidu de juriste dans lequel il prenait parfois des risques en combattant l’injustice, à une époque troublée par les conflits religieux et les luttes de pouvoir – c’était l’époque de Richelieu, de Mazarin. Au fait, pourquoi Fermat aurait-il tant désiré rencontrer Pascal, comme on le lit dans une étrange lettre de juillet 1660, alors même qu’il ne pouvait plus rien attendre de lui ? Tous deux étaient en outre déjà très malades. Alors pourquoi ne pas lui transmettre un courrier, tout simplement ?

VIII. Vēnīvīdīvīcī, văle : 4 mots écrits par Pierre Fermat entre les lignes

  • Étrange ? que le mot detexi ait été transformé à deux reprises au moins.
  • Étrange ? que cette note n°2 ait été si souvent mal traduite ? Non puisque l’on est toujours resté ‘bloqué’ sur ce qui était arithmétique. En outre, c’est la dernière phrase, très curieuse, qui était intrigante,  c’était déjà bien assez !
  • Étrange ? que dans ses écrits, quand il l’estimait nécessaire, Fermat utilisait toutes les subtilités du latin.
  • Étrange donc, qu’il ait écrit ses observations du Diophante en latin ?
  • Étrange ? qu’il ait tenu à ce que le titre de cette seule note soit écrit en toutes lettres ?
  • Étrange ? qu’on n’ait jamais retrouvé ce Diophante ? 
  • Étrange ? que s’il n’eût pas été certain de sa preuve, sachant donc qu’un jour on aurait pu montrer que son théorème était faux, il ait pu envisager une seconde être encore moqué après sa mort ? La gloire mathématique qu’il avait si largement méritée après un travail ardu et acharné étant loin de lui être indifférente, entre autres parce qu’il désirait que la science des nombres fasse de gros progrès à la suite de ses travaux.
  • Étrange ? qu’il ait soumis sa conjecture (fausse) des nombres de la forme 22n + 1 à sept de ses correspondants.
  • Étrange ? qu’il se soit obstiné à le faire sur une période de 19 ans.
  • Étrange ? que ce soit la dernière formulation qui ait été ambigüe, celle qui fut adressée à un jeune mathématicien de 30 ans (Huygens), le dernier mathématicien qui aurait peut-être pu tenter de le suivre dans ses travaux.
  • Étrange donc ? que Fermat semble avoir tout fait pour que ce soit celle-là, la dernière, qui devienne après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les nombres 22n+1.
  • Étrange ? que Samuel de Fermat ait certainement fait un pieux mensonge en nous laissant croire que son père avait écrit certaines très longues observations… dans la marge 🙂
  • Étrange vraiment ? Que Fermat, s’il avait une preuve de son grand théorème, ne l’ait jamais dévoilée de son vivant.
  • Étrange ? qu’il ait voulu que l’existence même de son Grand Théorème ne soit connue qu’après sa mort ? On devine qu’il a longtemps eu, lui si friand des généralisations, ce théorème à l’esprit. Pourquoi alors n’en a-t-il jamais parlé ?
  • Étrange ? que Fermat ait pris autant de risques en faisant douter la postérité sur ses compétences.
  • Étrange ? qu’il ait pu désirer prendre sa revanche et sereinement envisager de fourvoyer ses détracteurs quant à sa possession d’une preuve – surtout quand il ne serait plus là, ce qui a dû énormément l’amuser.
  • Étrange ? qu’il ait voulu laisser son empreinte dans l’histoire des mathématiques.
  • Étrange ? qu’il ait fallu attendre 324 ans pour que l’on prouve que son théorème était vrai – bien qu’avec des moyens assez particuliers, la stratégie utilisée, bien loin d’être simple, est d’ailleurs indirecte.
  • Étrange ? que tant d’historiens et de mathématiciens aient tenté de prouver avec des tonnes de mauvais arguments que Fermat n’a jamais eu de preuve.
  • Étrange ? que dans une affaire criminelle complexe, s’il s’avérait impossible de trouver la moindre preuve de culpabilité du prévenu, qu’au contraire une multitude d’indices plaidaient en faveur de son honnêteté, celui-ci serait considéré coupable par de grands juristes universellement réputés ? Oui.  

Nous avons montré combien Fermat souhaitait que les mathématiciens le suivent dans ses difficiles travaux. Nous savons aussi que c’était un habile stratège. Les mauvaises langues pourraient penser que finalement, il a pu être un peu machiavélique. Quant à nous, nous pouvons dire qu’il n’y a rien d’étrange à ces pseudo-étrangetés, qui sont non seulement son ultime défi mais surtout le plus sublime.

Fermat cherche à appréhender le principe premier du nombre. Cette perception restant toujours englobante, il ne prend pas les chemins de traverse qui l’en auraient éloigné, il cherche à en saisir la quintessence, la saveur première, et le mode de relation très fin, vertigineux même, qu’à plusieurs ils ont entre eux. « On a en effet le sentiment d’une aspiration profonde de Fermat vers une métaphysique des nombres, une sorte de transcendance arithmétique aux reflets pythagoriciens, […] » (Ludivine Goupillaud). En un temps très court Fermat a assemblé les maillons de sa chaîne de compréhension. L’énoncé du grand théorème, aussi simple que l’énoncé du théorème de Pythagore, paraît compléter et confirmer ce légendaire théorème, être à la fois évident et d’une démonstration inaccessible, mettant en relation étroite mais en opposition radicale le nombre 2 et l’infinité des autres nombres, majorant encore la singularité de la pluralité de ce nombre, comme si tout commençait et finissait avec lui.  Fermat percevait, autant que Parménide et Pythagore, mieux que ses contemporains, que lorsque les hommes ont posé 1, puis 2, tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Un pur fantasme laisserait croire qu’une preuve ‘’élémentaire’’ nous révélerait autant de choses que nous en a révélées le théorème de Pythagore, un peu comme si elle pouvait nous faire tout comprendre de tous les nombres, mais surtout comme si ce nombre 2 était la clef. À quoi pourrait ressembler une telle preuve ? Serait-elle aussi remarquable par son élégance que l’énoncé du théorème dans sa simplicité ? En voyant d’une part les efforts de Fermat pour nous assurer qu’il avait effectivement une preuve, d’autre part les doutes, sur ses compétences, qu’il a pu vouloir créer chez les sceptiques, bref en voyant toute sa façon d’agir, dans ses correspondances et en particulier les dernières, ainsi que dans cette deuxième observation du Diophante bien sûr, beaucoup de choses me font croire qu’il avait réellement sa preuve, il ne se serait d’ailleurs pas moqué de nous à ce point, c’était un homme bien trop intègre.

Nul ne sait si quelqu’un pourra un jour faire quelques pas au moins en direction de cette preuve. Si néanmoins un mathématicien ou une mathématicienne devait un jour y parvenir, je crois que cette personne pourrait avoir moins de quarante ans, serait quelqu’un de très atypique, très enthousiaste, fortement motivé, assez secret, et aurait surtout beaucoup de temps libre. Un tel oiseau rare existe-t-il ? Quoi qu’il en soit, être assuré un jour qu’une telle preuve “élémentaire” (avec beaucoup de guillemets) existe et pouvoir la contempler serait bien apaisant, après ce sentiment quelque peu irritant qu’on avait pu ressentir en découvrant la preuve extraordinairement complexe d’Andrew Wiles, un véritable traité de mathématiques complètement novatrices. Devant une preuve “élémentaire”, nous pourrions contempler la beauté, la vérité, la logique, dans le “simple”, mais un simple qui aurait été élaboré avec une grande intelligence. Que la preuve moderne de Wiles (qui depuis a quand même été largement simplifiée) ait son pendant dans une preuve élémentaire est tout à fait envisageable et paraît assez naturel. Ce serait merveilleux si nous pouvions un jour en être les témoins. Fermat avait ses raisons de ne pas tout révéler, nous devons juste l’accepter, même si c’est difficile. Pour ma part je ne regrette rien. Il nous aura certes bien occupés, mais quoi de plus intéressant qu’un monde à explorer ?

*

Résumé.

Arguments logiques, arguments historiques, en faveur d’une preuve du théorème de Fermat par lui-même, contrairement à ce veut nous faire croire la rumeur. Je ne sache pas qu’il existe ailleurs une légende urbaine aussi vivace, et aussi universelle. Ce sont les mauvais arguments mis en avant par des dizaines d’historiens des mathématiques, dont les plus criants m’ont été révélés dans les années 90 par une jeune mathématicienne italienne de passage à la cité U, qui ont éveillé chez moi le désir de démonter complètement cette rumeur.

– 1) Une traduction littérale et fidèle de la deuxième OBSERVATIO de Fermat est : « […] ce dont j’ai réellement mis au jour l’explication surprenante », et non « [… ] une démonstration vraiment merveilleuse » où l’adverbe sane n’est pas à sa place : « sane » est la forme masculine du vocatif, il ne s’applique pas à « demonstrationem » qui est féminin, mais à l’auteur.

– 2) De ses 48 Observations, le seul titre qui soit écrit en toutes lettres, OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT est celui de la plus mystérieuse. Les autres titres sont abrégés en OBSERVATIO D.P.F.

– 3) Le mot detexi (‘’j’ai mis au jour’’) a été transformé une première fois (version de Rome) en detexṡ (i et s confondus) → detexis, du verbe detexo, conjugué au présent de l’indicatif actif, deuxième personne du singulier → « tu tisses complètement  ! ».

– 4) Et une deuxième fois (version de Lyon) en detexi. Je pense comme Monsieur Franquart qui a fait cette découverte et avait analysé cette note en 2009, que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l’observation de Fermat, non caperet (ne l’eût pas contenu) (ce t). En outre R.F était déjà parvenu, dans son décryptage détaillé de la note « Lyon », à trouver « tisser complètement« . Ces codages et décodages peuvent paraître tirés par les cheveux mais si l’on veut bien se souvenir que Fermat aimait jouer, avec ses correspondants, avec nous, avec les mots – ne parlons même pas des nombres –, ça fait beaucoup de coïncidences. À l’instar d’autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il était un fervent lecteur), il était expérimenté en matière de cryptage. Ici c’était osé, mais il a dû y travailler consciencieusement – avant justement de devoir « oser » trafiquer deux lettres différentes dans le même mot, dans respectivement deux versions différentes de la note.

• On peut se demander si Fermat n’avait pas envisagé qu’après sa mort, un mathématicien en possession d’un exemplaire de l’édition “detexi” , ou surtout “detexṡ”, perplexe, écrive à un collègue en lui faisant part de cette curiosité. Si ce collègue, souhaitant vérifier de visu l’information, avait pu consulter une édition «correcte», similaire à la (‘3’), ces deux personnes se seraient interrogées et mises à la tâche certainement plus confiantes et assidues. Seraient-elles parvenues (elles ou d’autres), à leurs fins ? Il semble en tout cas qu’une telle rencontre n’ait jamais eu lieu. La confrontation entre les deux plus singulières éditions aurait été encore plus stimulante.

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– 5) Il aurait écrit toutes (!) ses observations dans la marge… (certaines sont très longues).

– 6) Son exemplaire personnel de l’Arithmetica, d’une très grande valeur historique, a disparu, mais personne ne s’en est jamais ému. Est-ce vraiment sur cet ouvrage qu’étaient écrits tous ces commentaires ? S’il a donné, sur papier libre par exemple, des instructions précises à son fils dans la manière d’écrire cette fameuse note dans trois versions différentes, ces consignes justifient la disparition de l’ouvrage, une destruction par son fils.

• Sur les nombres de la forme 22n + 1 (“Nombres de Fermat”) :

– 7) Il a soumis cette conjecture (qu’il savait sûrement fausse mais qu’il assurait être vraie) à tous ses correspondants… sur une période de 19 ans… en leur demandant… de bien vouloir l’aider à la prouver Smiley souriant Or en utilisant les nombres premiers de la forme 74k+1, Fermat trouve que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. Peut-on réellement croire qu’avec même méthode, en utilisant les diviseurs de la forme 64k+1, il n’ait pas trouvé que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), et donc qu’il n’est pas premier ?

– 8) Il n’a pas hésité ici à se rabaisser et à paraître un amateur aux yeux des « suiveurs des suiveurs » tout en laissant, ailleurs, de multiples indices à l’intention de ses propres suiveurs.

– 9) La cinquième et dernière formulation de cette conjecture est ambigüe, il la commence ainsi : « J’ay ensuite considéré certaines questions », puis vers la fin : « Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers [… ]. » On pouvait comprendre, et des mathématiciens ou historiens ont en effet voulu lire : « j’ai ensuite prouvé que ». C’est ce dernier ballon d’essai qu’il adressa à un jeune mathématicien et physicien de 30 ans (Huygens), le seul qui aurait pu encore le suivre. Espérait-il par cette formulation équivoque que le jeune homme, comprenant « j’ai ensuite prouvé que », et découvrant que c’était faux, en soit tout excité et entre en contact avec lui ? Alors Fermat aurait enfin trouvé un mathématicien – jeune et prometteur – qui le suivrait sur ses terres. Mais Huygens qui suivait d’autre voies ne donna pas suite. Finalement c’est cette formulation ambigüe qui deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur ces “nombres de Fermat”. Notons que cette conjecture est absente de ses OBSERVATIONES, où toutes ses conjectures ont par la suite été validées. Je ne saurai jamais pourquoi sur le projet frère Wikipédia on lit : « il assure en posséder une [démonstration] par descente infinie dans une lettre de 1659 à Carcavi » alors qu’on pouvait formuler ainsi par exemple : Quand Fermat écrit à Carcavi (à l’attention de Huygens) : « J’ay ensuite considéré certaines questions… », certains historiens * (en les mettant en note) ont compris : « J’ai ensuite démontré certaines propositions …». L’historien Temple Bell, plus sérieux, n’était pas de leur avis.

– 10) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations montre, par leur élégance aussi, qu’elles ont été écrites à l’intention d’un lecteur. Pourtant nous lisons, toujours sur le projet frère Wikipédia: « En effet, les annotations marginales de Fermat sont des notes de lectures destinées à son usage personnel qui ne sont pas datées. » Je ne saurai jamais pourquoi on ne peut pas lire : « Selon l’historien Jean Itard, les annotations marginales […] (mais on sait combien Itard était prévenu contre Fermat). » De même on lit un peu plus loin : « il n’avait pas à se rétracter puisque la conjecture était restée privée. » Je pense que cette manière de rédiger relève de la négligence, peut-être aussi d’un désir de couper court, et peut-être bien les deux à la fois, certaines légendes urbaines ont la peau dure…

– 11) Des historiens et mathématiciens ont prétendu, parfois avec des arguments fallacieux, que Fermat n’avait jamais possédé une preuve de son grand théorème (smoke and mirrors !). Cette rumeur, qui pouvait être réconfortante pour certains, s’est propagée et a grossi au cours des siècles, parfois par naïveté, parfois par conflit d’intérêt, parfois les deux à la fois, ajoutant toujours du mystère au mystère.

– 12) Si Fermat, obsédé par son désir de généralité, n’a jamais évoqué ailleurs que dans cette note le théorème général (“grand théorème”, ou “dernier théorème”), on sait qu’il l’a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme en détenir une preuve, pourtant il ne veut pas la dévoiler de son vivant, préférant que l’existence-même du théorème (conjecture) ne soit connue qu’après sa mort.

– 13) Dans cette affaire du théorème digne d’un roman policier il a fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes mais laissant par ailleurs de nombreux indices, clairement affichés ou subtilement cachés.

Twist ending → Si l’on prend en compte ne serait-ce que quelques uns de ces arguments, on se doute qu’il a laissé à l’attention de ses suiveurs la piste d’un calcul — en l’occurence Roland Franquart a retrouvé le tissage de couples de lettres de Fermat, où ce dernier suggère de prendre comme support le triangle arithmétique de Pascal.

• La première interprétation, mot à mot, de la note de Fermat : […] ce dont j’ai réellement mis au jour l’explication surprenante. La petitesse de la marge ne la contiendrait pas. » Aux yeux d’un observateur non éclairé, Fermat apparaît ici comme un vantard.

• Le décryptage mis au jour par R. Franquart révèle une deuxième interprétation : « [… ] ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante. Le manque (la petitesse) de la bordure (ou bien : bord, limite, bordure, cadre, marge) ne la contiendrait pas. »

• Il me semble qu’ici RF a oublié (négligé) l’adverbe sane ((“vraiment”, “assurément”, “réellement”) au passage. On s’amuse en remarquant que l’association de “vraiment” avec “tissé complètement” (DETEXO, IS, ERE, TEXUI, TEXTUM) donne :

…ce dont j’ai, vraiment, complètement, tissé l’explication étonnante (ou merveilleuse).

• Dans sa ‘’lettre testament’’ à Carcavi pour Huygens de 1659, où figure la conjecture erronée qui a tant fait gloser (notre argument N°9), et où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut estre la postérité me scaura gré de luy avoir fait connoistre que les Anciens n’ont pas tout sceu, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moy pour traditio lampadis ad filiosNote 1, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel j’adjousteray, multi pertransibunt et augebitur scienciaNote 2».

Note 1 : pour transmettre le flambeau aux fils, aux disciples.
Note 2 : Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance scientifique en sera accrue.

Concluons en disant que la démonstration de Pierre de Fermat n’intéresse guère les historiens, et encore moins les mathématiciens, déroutés et même parfois violemment opposés à la manière non conventionnelle dont il l’a formulée au XVIIe siècle. Le minimum que nous pouvions faire était de lui rendre ce “devoir de mémoire” en saluant une nouvelle fois le génie d’un immense pédagogue. Méditer sur cette énigme, sur son histoire surtout, est fort instructif pour le chercheur de vérité.

VIII. Suggestions pour qui voudrait aller plus loin

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Je suggérerais aussi au mathématicien motivé, afin qu’il soit conforté dans sa recherche, assuré d’être dans la bonne voie, de se faire assister par un(e) latiniste professionnel(le), qui pourrait lui montrer que les décryptages de M. Franquart sont cohérents (des corrélations étonnantes, des indices précieux, autres que ceux déjà cités,  le montrent).

Et je souhaiterais prévenir d’avance (et rassurer) ce mathématicien, qu’il ne s’attende pas à trouver une démonstration formulée conventionnellement, elle est construite avec les outils que connaissait Fermat au XVIIe siècle (les notions les plus fondamentales de la « science des nombres » – formulation antérieure à celle de « théorie des nombres »)  et peut fortement déstabiliser un mathématicien de notre époque.

(à suivre)

Claude Mariotti

claude-mariotti (at) orange.fr

© Claude Mariotti, 2017, 2018, 2019.

Article connexe : Rêver avec Grothendieck

Bibliographie restreinte

  • Alexandre GrothendieckRÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien
  • Arthur I. Miller : Intuitions de génie – Images et créativité dans les sciences et les arts. Éditions Flammarion, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, 2000 pour la traduction française.
  • Catherine Goldstein :
  • Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995. Voir l’article de Alain Herreman et l’article de Hélène Gispert au sujet de l’ouvrage.
  • L’arithmétique de Pierre de Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne : une approche microsociale, Sciences et techniques en perspective, IIe série, 8, (1), p. 14-47. [fichier PDF, 620 Ko], 2004.
  • Descente infinie et analyse diophantienne : programmes de travail et mise en oeuvre chez Fermat, Levi, Mordell et Weil, Cahier du Séminaire d’histoire et de philosophie des mathématiques, 2ème série, volume 3, 1993, p. 25-49. [fichier PDF, 152 Ko], 1993.
  • Avec Karim Belabas « Fermat et son Théorème (et quelques variations arithmético-cryptographiques) », Orsay Info, vol. 57,‎ novembre 1999version préliminaire.
  • Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal », Essai. L’Harmattan, 2002. La 1ère partie (128 pages) est une étude historique : Fermat, vie, œuvre, premières formulations partielles et leur contexte, dernières formulations partielles, diverses formulations dans son  Diophante.
  • Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, RBA (es) – Le Monde, coll. « Le Monde est mathématique » (n° 9), 2013, 154 p.
  • Jacques Roubaud, Mathématique : (récit), Seuil, 1997.
  • Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Éditions Droz, 2005, dont une étude de Ludivine Goupillaud, Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat.

Réflexions théologiques

•  Pour le croyant, l’instant présent – inscrit dans le temps, temps qui est grâce donnée à nous par l’Éternel – est la meilleure raison d’affermir sa foi. Cet instant présent, cet intense instant de vie, nous permet de ne pas songer à tout moment à la mort terrestre. TENTER de vivre en Dieu chaque instant est le plus sûr moyen pour quiconque ayant reçu le don de la foi, par son éducation ou par les circonstances de sa vie, d’acquérir chaque jour un peu plus de lucidité, dans  les joies comme dans l’épreuve.

Rêver avec Grothendieck

Le génie mathématicien Alexandre Grothendieck (1928-2014, médaille Fields en 1966) écrivit La Clef des songes. Dans cette œuvre puissante et originale il nous révèle la méthode spirituelle avec laquelle il a pratiqué et vécu une auto-analyse qui lui a permis de résister avec une conviction et une force rarement vues (jamais vues à ma connaissance, même pas chez Freud) aux préjugés, fausses croyances et avis officiels les plus académiques dans la sphère mathématique – entre autres.

• « Mais il arrive que le message d’un grand rêve apparaisse d’emblée dans son évidence, à une tierce personne à qui on en fait le récit. La raison en est, bien sûr, qu’en cette tierce personne, qui n’est pas directement concernée par le message, il ne se produit pas de levée en masse des résistances contre le renouvellement. Pour tous les rêves messagers qui me sont venus et que j’ai sondés, il m’a fallu des heures, et parfois des jours de travail, pour en saisir le message. » Alexandre Grothendieck, La Clef des songes, page 24, note de bas de page.

• Tout rêve, selon Freud, est l’accomplissement d’un désir (réprimé), et pour parler simplement, disons que le rêve sert à intégrer, sans effort de volonté, dans le jour qui suit la nuit du rêve, le vécu du jour précédent. Le rêve même oublié, ou non analysé, est indispensable à l’équilibre mental, il crée le lien nécessaire entre le désir réprimé et notre être profond, il tisse, dans le travail du rêve, un pansement complexe et puissant. En somme il ne fait que rapiécer, raccommoder, pour que nous puissions rester en accord avec nous-même et continuer à vivre cahin-caha.

A contrario, si ayant pris l’habitude de noter le plus rapidement possible nos rêves, au moins dans les grandes lignes, nous faisons ensuite l’effort de nous les remémorer pour tenter de les compléter et les décrypter au mieux, si nous comprenons ce qu’ils nous révèlent, nous pourrons à force d’expérience nous approcher de plus en plus de notre être le plus profond, mieux discerner, devenir plus lucides. À la solution de facilité de la première option (se laisser vivre en laissant chaque nuit le subconscient rafistoler les blessures psychologiques afin de permettre au vieux juge intérieur, forgé au cours de l’enfance par l’éducation, de reprendre les rênes de notre conduite), se substitue dans la seconde option un travail actif de connaissance de soi – et par là même, des autres.

Ayant effectué moi-même une analyse, sur le divan comme il se doit, je veux vous partager deux des rêves insistants, porteurs d’un fort message (ceux-là sont très rares), faits à l’âge adulte alors que j’effectuais déjà une thérapie en position assise. Comme beaucoup d’autres analysants j’imagine, je poursuis toujours ce travail d’analyse par une auto-analyse. En effet dès que l’on a trouvé, par la force des choses, parfois par nécessité vitale (ce fut mon cas) la clef du trésor en soi, on n’est pas prêt de l’abandonner, ce trésor, tant on sait qu’il est inépuisable. La plus magistrale leçon que j’ai tirée de la longue et enrichissante étude de mon cas, et par extension des cas les plus désespérés, c’est que plus une situation de laquelle on aura réussi à se sortir aura été grave, terrible parfois, et mieux nous percevrons la formidable puissance de la vie. N’imaginez pas que je n’ai, moi aussi, des moments de doute, de révolte ou de mélancolie, mais me connaissant assez bien maintenant, ayant au fil des ans, des plus grandes contrariétés comme des joies les plus sublimes, créé mon propre programme antivirus (qui le plus souvent se met à jour automatiquement), il est toujours arrivé un moment où mon “logiciel interne” commençant à patiner, j’ai dû admettre que j’avais accepté l’intrusion d’un virus très parasite. Dans ces cas-là je me sens obligé, parfois après un peu de temps et de réflexion, de lancer le programme antivirus à sa puissance maximale. Le résultat est parfois très surprenant, toujours apaisant – en passant, l’antivirus est devenu encore plus performant. Qui a dit que notre monde était « le meilleur des mondes possibles » ? Encore un mathématicien.

Je dois d’abord dire qu’en juillet 1997, deux mois avant le tremblement de terre qui endommagea gravement la basilique d’Assise, je me trouvais dans cette ville. Avec des amis nous allions effectuer une randonnée pédestre d’une semaine en parcourant l’Ombrie. Venant d’endroits différents, dans l’attente les derniers arrivants, le rendez-vous avait été fixé sur la Grand-Place à une terrasse de café, avant de parcourir cette province chargée d’histoire. Cinq ans plus tard le premier rêve a eu pour décor cette même Grand-Place, mais à une autre terrasse, toute proche, située à angle droit par rapport à la premièreJ’y suis assis, entouré de mon père et de ma mère. Je leur dis : « Il faut trouver la tombe de Jésus. » Mon père rétorque : « C’est dangereux ça. » Ma mère : « On peut essayer. » Je m’éveille et note tout de suite ce rêve qui me paraît complètement loufoque. Vraiment il est si loufoque, si incompréhensible (mais pourtant tellement précis ! – et si court, si dense, si chargé) que je n’y comprends absolument rien. Par chance j’ai rendez-vous le lendemain chez mon analyste et lui fais part du rêve. Il fait une seule remarque : « Dans une tombe on est allongé. » J’ai tout de suite compris. Il me faut replacer les choses dans leur contexte.

J’étais en thérapie depuis plusieurs mois déjà, préférant être assis sur une chaise (et donc sur la défensive) plutôt que de m’allonger sur le divan, position que je trouvais très vulnérable. En effet, bien avant cette thérapie, après avoir lu le livre d’une psychanalyste écrivant qu’une analyse pouvait détruire une personne (je pense qu’elle faisait allusion aux personnes n’ayant pas encore un moi suffisamment structuré), j’avais conçu puis entretenu au fil des années une peur panique de la position allongée sur un divan de psychanalyste. Or après ces quelques mois d’une thérapie très bénéfique, je me sentais de plus en plus confiant et motivé, pressentant avec beaucoup d’acuité qu’en position allongée, les muscles du corps complètement détendus et sans le face-à-face avec le thérapeute, gênant pour moi autant que pour lui, je pourrais me détendre complètement. Lorsque dans le rêve je dis à mes parents : « Il faut trouver la tombe de Jésus », je leur soumets en fait cette proposition : « Il faudrait que je m’allonge sur le divan. » Car la tombe de Jésus, Jésus symbolisant pour moi la Connaissance, signifiait dans le message à peine voilé du rêve l’acquisition de la connaissance de soi grâce à la position allongée (comme Jésus qui serait allongé dans une tombe). Peut-être la tombe faisait-elle aussi allusion au fait de mourir à moi-même pour renaître plus vivant, pour me re-susciter. Le travail du rêve, avant que le rêve lui-même ne me parvienne, fut donc extrêmement élaboré comme on le verra aussi plus loin.

Quand mon père dit : « C’est dangereux, ça », c’est mon côté masculin, volontariste mais prudent ! qui s’exprime, puis quand ma mère dit « oui mais on peut essayer », c’est mon côté intuitif, féminin et maternel, qui m’encourage : même si ça peut paraître dangereux au premier abord, il vaut la peine d’essayer de faire quelque chose de si extraordinaire : trouver la tombe de Jésusaller voyager, détendu, dans les profondeurs de mon subconscient afin de mieux me connaître. Décidément il faudra bien un jour que je m’allonge sur le divan ! Les terrasses des deux cafés, formant entre elles un angle droit, ont-elles la même signification puisque je dois faire effectuer à mon torse un angle droit pour passer de la position assise à la position allongée ? De cela je ne suis pas certain, il s’est produit dans d’autres de mes rêves un déplacement similaire d’une scène à angle droit. C’est quand même incroyable !, absolument tous les rêves peuvent donc s’expliquer, même les plus étranges, ou ceux qui semblent totalement absurdes (ou/et parfois très touffus). Deux jours plus tard, une évidence m’a frappé : pour que mon rêve soit le plus apaisant possible, le travail du rêve a bien fait les choses : tout à fait au ras des pâquerettes pour ne pas effaroucher la pensée consciente, il a placé le rêve à Assise. Quand cette évidence s’est révélée mon égo en a pris un sacré coup ! Pourquoi donc m’a-t-il fallu deux jours pour faire ce rapprochement ? Devais-je m’en étonner ? Pas tant que ça, car à Assise, j’y étais bien allé et en avais gardé un merveilleux souvenir. Le Grand rêveur en soi, quand il sent le moment propice pour délivrer un message, fait preuve lors du travail du rêve de toute sa bienveillante intelligence, ménageant avec beaucoup de délicatesse le Petit rêveur (dans le quasi-conscient) : au cours de ses aller-retour entre conscient et inconscient, il discerne tout ce qui pourrait effrayer, et soit à l’aide de jeux de mots soit par tout autre moyen il prend soin de ne pas nous révéler brutalement un message trop explicite et bouleversant, en les codant d’une manière particulièrement astucieuse. Libre à nous ensuite de négliger toute l’aide qu’il a jugée nécessaire de nous fournir, ou de se mettre au travail (travail qui peut prendre des heures, voire beaucoup plus pour certains rêves très obscurs, si l’on veut le comprendre complètempent). Si l’on réussit ce travail – je pense que c’est toujours le cas pour les grands rêves, qui sont très concis, nets et puissants – on est tellement émerveillé de la sagesse de notre inconscient, tellement heureux d’avoir eu ce rêve, qu’on croit à son message sans aucune difficulté.  S’habituer à étudier un minimum même les rêves les plus bénins ou les plus obscurs facilite la venue de rêves plus importants. Oui il était rassurant ce nom d’Assise, pas seulement par son symbolisme spirituel et apaisant pour moi (je suis redevenu – ou plutôt devenu croyant, quand la certitude de l’existence de Dieu se fût imposée à moi après un “déblocage” psychologique aussi massif qu’inattendu), il faisait aussi ami-ami avec cette position assise et sans danger dans le contexte d’un rêve qui par son sens caché mais profond, m’encourageait à prendre enfin le risque de m’allonger sur le divan pour m’ouvrir complètement à la petite voix qui viendra apaiser ma soif de comprendre au moins l’essentiel. Dans le rêve d’ailleurs je suis assis, entouré des parents protecteurs. Je ne dois pas être bien loin de m’allonger sur le divan…

Deux nuits plus tard j’ai fait un second rêve. Accroupi dans une tranchée profonde peut-être de deux mètres je suis occupé à trier à grand peine d’innombrables débris d’assiettes, (comme dans la maison Picassiette à Chartres), recouverts de quelques millimètres d’eau, pour les ré-assembler. Ce travail épuisant semble interminable. Puis le rêve sans transition se poursuit, je suis maintenant debout sur la terre ferme, face un monticule où s’empilent différentes strates. “Le haut” du monticule (élever la pensée) est ici en opposition “au bas” de la fosse (siège des empreintes laissées par les pensées basses), fosse où toutes les pièces du puzzle sont dispersées, puisqu’en haut de ce monticule, à hauteur de mes yeux (« c’est devant tes yeux ») la strate est en minerai d’or.

– Mon premier réflexe : « De l’or ! (Waouh !) »

– Mon deuxième : « Mais il n’est pas pur… »

– Mon troisième : « On peut l’extraire. »

Je rapporte ce rêve au thérapeute et dans la foulée me dirige vers le divan. Ma dernière phrase avant de m’y allonger : « Se coucher devant l’autorité ! » – pas fou le garçon, l’analyste avait intérêt à être gentil avec moi 😉

– Maître-article : L’énigme de Fermat passée au crible (math, philo des math, loin des sentiers battus)